RMQ問題的ST算法

ST(Sparse Table)算法的基本思想是，預先計算從起點A[i]開始長度爲2的j次方(j=0,1...logn)的區間的最小值，然後在查詢時將任何一個區間A[i..j]劃分爲兩個預處理好的可能重疊的區間，取這兩個重疊區間的最小值。

在預處理階段，從起點A[i]開始，任何一個長度爲2^j的區間都可以劃分爲兩個長度2^(j-1)的區間，其中第一個區間的範圍爲：i...i+2^(j-1)-1；第二個區間的範圍爲：i+2^(j-1)...i+2^j-1。用M[i,j]表示從A[i]開始，長度爲2^j的區間（即A[i]...A[i+2^j-1]）最小值對應的下標，那麼A[M[i,j]] = min{A[i...i+2^(j-1)-1], A[i+2^(j-1)...i+2^j-1]}。  利用DP思想，先計算M[i,j-1]的值，然後計算M[i,j]的值。

在查詢階段，任何區間A[i..j]的長度d=j-i+1，令k=floor(logd)，那麼該區間可以被兩個長度爲2^k的子區間完全覆蓋，這兩個長度爲2^k的區間可以有重疊。由於這兩個區間已經在預處理中求得最小值，因此可以取二者的最小值得到A[i..j]的最小值。

ST算法預處理階段的複雜度爲O(nlogn)，查詢階段的複雜度爲O(1)。

實現：

/**
 * 
 * Using ST(Sparse Table) algorithm to solve RMQ problem
 * time complexity: <O(nlogn),O(1)>
 * 
 *  
 * Copyright (c) 2011 ljs (http://blog.csdn.net/ljsspace/)
 * Licensed under GPL (http://www.opensource.org/licenses/gpl-license.php) 
 * 
 * @author ljs
 * 2011-08-02
 *
 */ 
public class RMQ_ST {
	
	//ST: O(nlogn) for preprocessing
	public int[][] preprocess(int[] A){
		int n = A.length;
		//floor value
		int maxJ=(int)(Math.log(n)/Math.log(2));
		
		int[][] M = new int[n][maxJ+1];
		
		//initial condition for dynamic programming: the RMQ for interval length=1
		for (int i = 0; i < n; i++)
	          M[i][0] = i;
		
		//dynamic programming: compute values from smaller(j=1) to bigger intervals
	    for (int j = 1; j<=maxJ; j++){
	        for (int i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; i++){
	        	int nexti = i + (1 << (j - 1));
	            if (A[M[i][j - 1]] <= A[M[nexti][j - 1]])
	                M[i][j] = M[i][j - 1];
	            else
	                M[i][j] = M[nexti][j - 1];
	        }
	    }
	    return M;
	}
	
	//ST: O(1) for querying
	public int query(int[] A,int[][] M,int i,int j){
		if(j<i){
			//swap i and j
			int tmp=i;i=j;j=tmp;
		}
		int k = (int)(Math.log(j-i+1)/Math.log(2));
		//the first interval
		int mina = M[i][k];
		int minb = M[j-(1<<k)+1][k];
		if(A[mina]<=A[minb])
			return mina;
		else
			return minb;
	}

	public static void main(String[] args) {		
		int[] A=new int[]{0,1,2,3,7,1,9,2,8,6};
		RMQ_ST st = new RMQ_ST();
		int[][] M = st.preprocess(A);
		
		
		System.out.format("%n***********************%n");		
		int i=3,j=7;		
		int min = st.query(A,M, i,j);
		System.out.format("RMQ for A[%d..%d]: A[%d]=%d", i,j,min,A[min]);
		
		System.out.format("%n***********************%n");
		j=3;i=7;	
		min = st.query(A,M, i,j);
		System.out.format("RMQ for A[%d..%d]: A[%d]=%d", i,j,min,A[min]);
		
		System.out.format("%n***********************%n");
		for(int x=0;x<A.length;x++){
			for(int y=0;y<x;y++){
				System.out.format("    ");
			}
			for(int y=x;y<A.length;y++){
				int p = st.query(A,M,x,y);				
				System.out.format(" %d/%d",A[p],p);
			}
			System.out.println();
		}	
	}

}

參考資料：

The LCA Problem Revisited (2000)  by Michael A. Bender & Martin Farach-Colton