時間過得真快，一眨眼集訓第二週就要結束了。有很長的第一段時間沒有寫算法類的博客了。今天先來一篇 --- 並查集。
1、什麼是並查集
並查集(Union Find)是一種用於管理分組的數據結構。它具備兩個操作：(1)查詢元素a和元素b是否爲同一組 (2) 將元素a和b合併爲同一組。
注意：並查集不能將在同一組的元素拆分爲兩組。
2、並查集的結構
並查集可以使用樹來實現。
使用樹形結構來表示以後，每一組都對應一棵樹，然而我們就可以將這個問題轉化爲樹的問題了，我們看兩個元素是否爲一組我們只要看這兩個元素的根是否一致。顯然，使用樹形結構將問題簡單化了。合併時是我們只需要將一組的根與另一組的根相連即可。
3、並查集的實現
我們通過以上的思路，現在就可以具體來實現並查集了，代碼如下：
int node[i]; //每個節點
//初始化n個節點
void Init(int n){
for(int i = 0; i < n; i++){
node[i] = i;
}
}
//查找當前元素所在樹的根節點(代表元素)
int find(int x){
if(x == node[x])
return x;
return find(node[x]);
}
//合併元素x， y所處的集合
void Unite(int x, int y){
//查找到x，y的根節點
x = find(x);
y = find(y);
if(x == y)
return ;
//將x的根節點與y的根節點相連
node[x] = y;
}
//判斷x，y是屬於同一個集合
bool same(int x, int y){
return find(x) == find(y);
}有了這些知識，我們就可以來解決一些問題了。先上兩道並查集的水題：暢通工程，How many Tables？
4、並查集的優化
細心的同學會發現，我們使用以上的代碼來實現並查集，會出現一個問題 --- 樹的退化。在樹形數據結構中，如果發生退化，那麼複雜度將會變得很高(最慘的是直接退化成線性結構)。因此我們必須設法，阻止這種退化。爲此我們這裏有兩種方法。
<1>對於每一棵樹，我們記錄它的高度(rank)。在每次合併操作時，將高度小的樹 放在 高度高的樹下，成爲它的子樹:
通過這樣處理之後，可以有效的防止樹的退化，但是查詢效率還不夠快，於是我們有提出了第二種優化方案。
<2>路徑壓縮
我們將原先間接與根相連的節點，讓它與根直連，這樣效率又可以大大的提高了：
我們在第一次查詢時，進行這步操作，當再次查詢時，就大大提高了效率。
5、並查集的複雜度
加入這兩個優化之後，並查集的效率就非常高。對n個元素的並查集操作一次的複雜度是： O(α(n))。這裏，α(n)是阿克曼(Ackermann)函數的反函數。效率要高於O(log n)。
不過這裏O(α(n))是平均複雜度。也就是說，多次操作之後平均複雜度爲O(α(n))，換而言之，並不是每一次操作都滿足O(α(n))。
6、優化後的並查集實現
int node[i]; //每個節點
int rank[i]; //樹的高度
//初始化n個節點
void Init(int n){
for(int i = 0; i < n; i++){
node[i] = i;
rank[i] = 0;
}
}
//查找當前元素所在樹的根節點(代表元素)
int find(int x){
if(x == node[x])
return x;
return node[x] = find(node[x]); //在第一次查找時，將節點直連到根節點
}
//合併元素x， y所處的集合
void Unite(int x, int y){
//查找到x，y的根節點
x = find(x);
y = find(y);
if(x == y)
return ;
//判斷兩棵樹的高度，然後在決定誰爲子樹
if(rank[x] < rank[y]){
node[x] = y;
}else{
node[y] = x;
if(rank[x] == rank[y]) rank[x]++:
}
}
//判斷x，y是屬於同一個集合
bool same(int x, int y){
return find(x) == find(y);
} 現在我們已經大致的來解了並查集，我們來一道，有一點難度的題目練練手：食物鏈