常用算法 --- 迭代法

迭代法是用於求方程或方程組近似根的一種常用的算法設計方法。設方程爲f(x)=0，用某種數學方法導出等價的形式x=g(x)，然後按以下步驟執行： 
（1）    選一個方程的近似根，賦給變量x0； 
（2）    將x0的值保存於變量x1，然後計算g(x1)，並將結果存於變量x0； 
（3）    當x0與x1的差的絕對值還小於指定的精度要求時，重複步驟（2）的計算。 
若方程有根，並且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認爲是方程的根。上述算法用C程序的形式表示爲： 
【算法】迭代法求方程的根 
{    x0=初始近似根； 
   do { 
     x1=x0； 
     x0=g(x1)；    /*按特定的方程計算新的近似根*/ 
     } while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)； 
   printf(“方程的近似根是%f/n”，x0)； 
} 
迭代算法也常用於求方程組的根，令 
     X=（x0，x1，…，xn-1） 
設方程組爲： 
     xi=gi(X)      (I=0，1，…，n-1) 
則求方程組根的迭代算法可描述如下： 
【算法】迭代法求方程組的根 
   {    for (i=0;i<n;i++) 
       x=初始近似根; 
     do { 
       for (i=0;i<n;i++) 
         y=x; 
       for (i=0;i<n;i++) 
         x=gi(X); 
       for (delta=0.0,i=0;i<n;i++) 
         if (fabs(y-x)>delta)      delta=fabs(y-x)； 
       } while (delta>Epsilon)； 
     for (i=0;i<n;i++) 
       printf(“變量x[%d]的近似根是 %f”，I，x)； 
     printf(“/n”)； 
   } 
   具體使用迭代法求根時應注意以下兩種可能發生的情況： 
（1）    如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環，因此在使用迭代算法前應先考察方程是否有解，並在程序中對迭代的次數給予限制； 
（2）    方程雖然有解，但迭代公式選擇不當，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導致迭代失敗