經典蜂擁模型穩定性分析

運動模型

  考慮一個包含$N$個智能體的羣體，其中每個節點的運動方程均形同，如下：
$\left\{ \begin{matrix} {{{\dot{q}}}_{i}}(t)={{p}_{i}}(t) \\ {{{\dot{p}}}_{i}}(t)={{u}_{i}}(t) \\ \end{matrix} \right.$
其中$i=1,2,\cdots ,N$，$p_i(t)$和$q_i(t)$分別代表節點$i$在時間時$t$的速度和位置,$u_i$代表該節點的控制輸入向量。

輸入向量

  移動節點的輸入控制量爲：
${{u}_{i}}=\sum\limits_{j\in {{N}_{i}}}{\phi ({{\left\| {{q}_{j}}-{{q}_{i}} \right\|}_{\sigma }}){{n}_{ij}}}+\sum\limits_{j\in {{N}_{i}}}{({{p}_{j}}-{{p}_{i}}){{a}_{ij}}}+{{\beta }_{1}}({{q}_{k}}-{{q}_{i}})+{{\beta }_{2}}({{p}_{k}}-{{p}_{i}}) \text {(1)}$
其中${{\left\| \cdot \right\|}_{\sigma }}$是一種新的範數，其定義如下：
${{\left\| z \right\|}_{\sigma }}=\left[ \sqrt{1+\varepsilon {{\left\| z \right\|}^{2}}}-1 \right]/\varepsilon$
其倒數${{\sigma }_{\varepsilon }}(z)=\nabla {{\left\| z \right\|}_{\sigma }}$可以表示爲：
${{\sigma }_{\varepsilon }}(z)=\frac{z}{\sqrt{1+\varepsilon {{\left\| z \right\|}^{2}}}}=\frac{z}{1+\varepsilon {{\left\| z \right\|}_{\sigma }}}$
${{a}_{ij}}$是空間鄰接矩陣$A(q)$中的元素${{a}_{ij}}$，其可以表示爲：
${{a}_{ij}}(q)={{\rho }_{h}}(\left\| {{q}_{j}}-{{q}_{i}} \right\|/{{r}_{\alpha }})\in \left[ 0,1 \right],\text{ }j\ne i$
其中${{r}_{\alpha }}={{\left\| r \right\|}_{\sigma }}$。${{\phi }_{\alpha }}(z)$是勢場函數（a smooth pairwise attractive/repulsive potential），其定義爲：
$\begin{aligned} & {{\phi }_{\alpha }}(z)={{\rho }_{h}}(z/{{r}_{\alpha }})\phi (z-{{d}_{\alpha }}) \\ & \phi (z)=\frac{1}{2}\left[ (a+b){{\sigma }_{1}}(z+c)+(a-b) \right] \\ \end{aligned}$
其中${{\sigma }_{1}}(z)=z/\sqrt{1+{{z}^{2}}}$，[\phi (z)]是一個不均勻的s形函數，參數$0<a\le b$，$c=a-b/\sqrt{4ab}$，以確保$\phi (0)=0$。${{n}_{ij}}$表示從${{q}_{i}}$指向${{q}_{j}}$的方向向量，其計算方式爲：
${{n}_{ij}}=({{q}_{j}}-{{q}_{i}})/\sqrt{1+\varepsilon {{\left\| {{q}_{j}}-{{q}_{i}} \right\|}^{2}}}$

系統性能證明

定理1：考慮一個運行在指定區域內包含$N$個移動節點的智能羣體，移動節點的輸入控制量如公式(1.1)所示。假設該區域內只有一個運動速度爲${{p}_{k}}$的目標$k$並且系統的初始結構能量滿足${{Q}_{0}}<(m+1){{\psi }_{\alpha }}(0)$，其中$m\in {{Z}^{+}}$。那麼一下三條規則均可以成立：

1. 每個移動節點$i$和目標$k$之間的距離都不大於$\sqrt{2{{Q}_{o}}/{{\beta }_{1}}}$；
2. 每個節點最終速度都接近目標速度${{p}_{k}}$；
3. 該羣體中最多有$m$對智能體可能發生碰撞。

證明：

根據Olfati-Saber等人在文章"Flocking for multi-agent dynamic systems: Algorithms and theory"和Su 等人在文章"Flocking of multi-agents with a virtual leader"文中給出的動力學分析，羣體控制的輸入量可以改寫爲：
$u=-\nabla \Gamma (q)-\hat{L}(q)p+{{f}^{t}}(q,p,q,p)$
這裏$\Gamma (q)$是一個平滑的勢函數：
$\Gamma (q)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{\sum\limits_{j,j\ne i}{\nabla {{\psi }_{\alpha }}({{\left\| {{q}_{j}}-{{q}_{i}} \right\|}_{\sigma }})}}$
其中${{\psi }_{\alpha }}(z)=\int_{{{d}_{\alpha }}}^{z}{{{\phi }_{\alpha }}(s)ds}$。$\hat{L}(q)$是無向圖$G$的正半定拉普拉斯算子，其定義爲：
$\hat{L}(q)=L(q)\otimes {{I}_{N}}=\left( \Delta \left( A(G) \right)-A(G) \right)\otimes {{I}_{N}}$
其中${{f}^{t}}(q,p,q,p)$是羣體中所有節點和目標$k$之間的羣體導航反饋量。使用哈密頓函數定義節點和目標$k$之間的勢能函數和動能之和：
$Q(q,p)=\sum\limits_{i=1}^{N}{\left[ {{U}_{i}}(q)+{{K}_{i}}(q) \right]}$
其中
$\begin{aligned} & {{U}_{i}}(q)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1,j\ne i}^{N}{{{\psi }_{\alpha }}({{\left\| {{q}_{j}}-{{q}_{i}} \right\|}_{\sigma }})}+\frac{1}{2}{{\beta }_{1}}{{({{q}_{k}}-{{q}_{i}})}^{T}}({{q}_{k}}-{{q}_{i}}) \\ & {{K}_{i}}(q)=\frac{1}{2}{{({{p}_{k}}-{{p}_{i}})}^{T}}({{p}_{k}}-{{p}_{i}}) \\ \end{aligned}$
沿着節點到目標$k$方向上$Q(q,p)$的導數爲：
$\dot{Q}(q,p)=-{{p}^{T}}\left[ \left( \hat{L}(q)+{{\beta }_{2}}{{I}_{2}} \right)\otimes {{I}_{N}} \right]p$
因爲其中$\hat{L}(q)$是一個半正定矩陣，因此有：
$\dot{Q}(q,p)<0,\forall \ge 0$
由此可知$Q(q,p)$函數是一個遞減函數，，即$Q(q,p)\le {{Q}_{0}},\forall t\ge 0$。
對於追蹤目標$k$的任意一節點，根據公式(1.10)以及${{\beta }_{1}}>0$可得：
$\frac{1}{2}{{\beta }_{1}}{{({{q}_{k}}-{{q}_{i}})}^{T}}({{q}_{k}}-{{q}_{i}})\le {{Q}_{0}}$
因此每個節點與目標之間的距離都不大於$\sqrt{2{{Q}_{0}}/{{\beta }_{1}}}$,即證明了第一條規則。

根據拉塞爾不變性原理，即當$\dot{Q}(q,p)=0$時，系統中的每個運算解都漸進收斂於最大的速度不變量。對於羣體中任意追蹤目標$k$的節點，基於公式(1.11)後一個公式以及$\dot{Q}(q,p)=0$，則有${{p}_{i}}-{{p}_{k}}\equiv 0$。因此可以得到：
${{p}_{1}}\equiv {{p}_{2}}\equiv \cdots {{p}_{N}}\equiv {{p}_{k}}$
則第二條規則得證。
假設${{Q}_{0}}<(m+1){{\psi }_{\alpha }}(0)$，並且有超過$m$個不同的移動節點在時間${t}'\ge 0$時發生碰撞。由於在時間${t}'$時，至少有$m+1$個移動節點對發生碰撞，這表示羣體的總勢能至少是$(m+1){{\psi }_{\alpha }}(0)$。
根據公式(1.13)且函數$Q(q,p)$不是遞減函數，則有：
${{Q}_{0}}=Q\left( q(0),p(0) \right)\ge Q\left( q({t}'),p({t}') \right)\ge (m+1){{\psi }_{\alpha }}(0)$
顯然這與${{Q}_{0}}<(m+1){{\psi }_{\alpha }}(0)$的假設矛盾。因此，在$t>0$時，該網絡中最多有$m$個不同的移動節點可能會發生碰撞。尤其是當$m=0$時，任意兩個節點之間都不會發生碰撞。第三條準則得證。