HDU5321 Beautiful Set

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題目大意

給定一個包含n 個正整數的集合,有兩種計算集合權值的方式:

1. 計算集合的所有排列的所有區間的gcd 之和.
2. 對於從集合中選出k 個數(k∈[1,n]) 的所有方案,選出的數的gcd⋅k 之和.

計算兩種方式得到的權值對素數mod=258280327 取模後的結果.

1≤n≤105 ,元素範圍1≤numi≤105 .

題解

元素範圍比較小,可以考慮每個gcd 對答案的貢獻.
那麼用莫比烏斯反演計算也就十分自然了.
記cnt[i] 爲i 的倍數在集合中出現的次數.
f0[i] 與f1[i] 分別表示兩種計算方式中gcd=i 在答案中計算的次數.
F0[i] 與F1[i] 分別表示兩種計算方式中gcd 爲i 的倍數在答案中計算的次數.
容易得到:

F0[i]F1[i]=∑j=1cnt[i]Ajcnt[i]⋅(n−j)!⋅(n+1−j)=∑j=1cnt[i]Ajcnt[i]⋅(n+1−j)!=∑j=1cnt[i]j⋅Cjcnt[i]=cnt[i]⋅2cnt[i]−1.

求出F 後暴力套個莫比烏斯就行了:

f(n)=∑n∖dμ(dn)F(d).

複雜度似乎是O(nlnn) ?

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+5,MX=1e5,mod=258280327;
int n,mx,cnt[N]={0},pow_2[N],fact[N],inv[N],prime[N],mob[N],f[2][N],F[2][N];
bool is_prime[N];
int fast_mod_pow(int a,int b){
    int res=1;
    for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)
        if(b&1)res=1ll*res*a%mod;
    return res;
}
inline int calc_inv(int x){
    return fast_mod_pow(x,mod-2);
}
void init(){
    memset(is_prime,true,sizeof is_prime);
    mob[1]=fact[0]=inv[0]=pow_2[0]=1;
    for(int i=1,tot_prime=0;i<=MX;++i){
        pow_2[i]=2ll*pow_2[i-1]%mod;
        fact[i]=1ll*fact[i-1]*i%mod;
        inv[i]=calc_inv(fact[i]);
        if(i==1)continue;
        if(is_prime[i]){
            prime[tot_prime++]=i;
            mob[i]=-1;
        }
        for(int j=0,mul;j<tot_prime&&(mul=i*prime[j])<=MX;++j){
            is_prime[mul]=false;
            if(i%prime[j])mob[mul]=-mob[i];
            else{
                mob[mul]=0;
                break;
            }
        }
    }
}
void rd(int &res){
    res=0;
    char c;
    while(c=getchar(),c<48);
    do res=(res<<3)+(res<<1)+(c^48);
        while(c=getchar(),c>47);
}
inline int A(int n,int m){
    return 1ll*fact[n]*inv[n-m]%mod;
}
inline void mod_add(int &a,int b){
    if((a+=b)>=mod)a-=mod;
    else if(a<0)a+=mod;
}
void calc(){
    for(int i=1;i<=mx;++i){
        F[0][i]=0;
        for(int j=1;j<=cnt[i];++j)
            F[0][i]=(F[0][i]+1ll*A(cnt[i],j)*fact[n+1-j])%mod;
        F[1][i]=1ll*cnt[i]*pow_2[cnt[i]-1]%mod;
    }
    for(int i=1;i<=mx;++i){
        for(int j=0;j<2;++j){
            f[j][i]=0;
            for(int k=i;k<=mx;k+=i){
                if(!mob[k/i])continue;
                mod_add(f[j][i],mob[k/i]*F[j][k]);
            }
        }
    }
}
inline void Max(int &a,int b){
    if(b>a)a=b;
}
void solve(){
    mx=0;
    for(int i=0,num;i<n;++i){
        rd(num);
        Max(mx,num);
        ++cnt[num];
    }
    for(int i=1;i<=mx;++i)
        for(int j=i<<1;j<=mx;j+=i)
            cnt[i]+=cnt[j];
    calc();
    int ans[2]={0};
    for(int i=1;i<=mx;++i)
        for(int j=0;j<2;++j){
            if(!f[j][i])continue;
            ans[j]=(ans[j]+1ll*i*f[j][i])%mod;
        }
    if(ans[0]>ans[1])printf("Mr. Zstu %d\n",ans[0]);
    else if(ans[1]>ans[0])printf("Mr. Hdu %d\n",ans[1]);
    else printf("Equal %d\n",ans[0]);
    memset(cnt,0,mx+1<<2);
}
int main(){
    init();
    while(~scanf("%d",&n))solve();
    return 0;
}
/*

    Jun.23.16

    Tags:math,mobius
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*/