本文用於學習中的記錄，會在複習的過程中不斷修訂。
What is 拉普拉斯變換？∞ \infty ∞ 一.
1.1定義傅里葉正變換：
F ( ω ) F(ω) F ( ω ) F [ f ( t ) ] \mathscr{F}[f(t)] F [ f ( t ) ] ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j ω t d t \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-jωt}dt ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j ω t d t
在傅氏變換的基礎上，去掉t<0時的實軸範圍，並對於復參數s=β+jω,
F ( S ) F(S) F ( S ) L [ f ( t ) ] \mathscr{L}[f(t)] L [ f ( t ) ] ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t \int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}dt ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t
我們稱F(s)是f(t)的拉普拉斯變換
例：
我們引入一個單位階躍函數 u ( t ) u(t) u ( t ) L [ u ( t ) ] = ∫ 0 + ∞ u ( t ) e − s t d t = 1 s ( R e s > 0 ) \mathscr{L}[u(t)]=\int_0^{+\infty}u(t)e^{-st}dt=\frac{1}{s}\qquad(Re s > 0) L [ u ( t ) ] = ∫ 0 + ∞ u ( t ) e − s t d t = s 1 ( R e s > 0 )
e − s t e^{-st} e − s t f ( t ) = u ( t ) f(t)=u(t) f ( t ) = u ( t ) e − s t e^{-st} e − s t
1 s \frac{1}{s} s 1
1.2與傅氏變換的關係
通過剛纔引入的階躍函數u ( t ) u(t) u ( t ) F ( S ) F(S) F ( S ) = = = L [ f ( t ) ] \mathscr{L}[f(t)] L [ f ( t ) ] = = = ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t \int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}dt ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) u ( t ) e − β t ⋅ e − j ω t d t \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)u(t)e^{-βt}·e^{-jωt}dt ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) u ( t ) e − β t ⋅ e − j ω t d t \qquad \,\,\,\,\,\,\,\,\quad = = = F ( β + j ω ) F(β+jω) F ( β + j ω ) = = = L [ f ( t ) u ( t ) e − β t ] \mathscr{L}[f(t)u(t)e^{-βt}] L [ f ( t ) u ( t ) e − β t ] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
傅里葉逆變換：
f ( t ) f(t) f ( t ) = = = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) e j ω t d ω \frac{1} {2π}\int_{-\infty}^{+\infty}F(ω)e^{jωt}dω 2 π 1 ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) e j ω t d ω
將式1代入傅氏逆變換有
f ( t ) u ( t ) e − β t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( β + j ω ) e j ω t d ω f(t)u(t)e^{-βt}=\frac{1}{2π}\int_{-\infty}^{+\infty}F(β+jω)e^{jωt}dω f ( t ) u ( t ) e − β t = 2 π 1 ∫ − ∞ + ∞ F ( β + j ω ) e j ω t d ω
兩邊同乘e j ω t e^{jωt} e j ω t
f ( t ) u ( t ) = 1 2 π j ∫ β − j ∞ β + j ∞ F ( s ) e s t d s f(t)u(t)=\frac{1}{2πj}\int_{β-j\infty}^{β+j\infty}F(s)e^{st}ds f ( t ) u ( t ) = 2 π j 1 ∫ β − j ∞ β + j ∞ F ( s ) e s t d s
階躍函數u(t)也就是t>0式爲1，去掉
即拉普拉斯變換的反演積分公式 f ( t ) = 1 2 π j ∫ β − j ∞ β + j ∞ F ( s ) e s t d s f(t)=\frac{1}{2πj}\int_{β-j\infty}^{β+j\infty}F(s)e^{st}ds f ( t ) = 2 π j 1 ∫ β − j ∞ β + j ∞ F ( s ) e s t d s ( t > 0 ) \qquad(t>0) ( t > 0 )
二.
2.1 線性性質
L [ α f ( t ) + β g ( t ) ] = α F ( s ) + β G ( s ) \mathscr{L}[αf(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s) L [ α f ( t ) + β g ( t ) ] = α F ( s ) + β G ( s )
L − 1 [ α F ( t ) + β G ( t ) ] = α f ( t ) + β g ( t ) \mathscr{L}^{-1}[αF(t)+βG(t)]=αf(t)+βg(t) L − 1 [ α F ( t ) + β G ( t ) ] = α f ( t ) + β g ( t )
應用：可以快速求解cos ω t \cosωt cos ω t sin ω t \sinωt sin ω t
2.2 相似性質
L [ f ( α t ) ] = 1 α F ( s α ) \mathscr{L}[f(αt)]=\frac{1}{α}F(\frac{s}{α}) L [ f ( α t ) ] = α 1 F ( α s )
2.3 微分性質
導數的像函數：
L [ f ′ ( t ) ] = s F ( s ) − f ( 0 ) \mathscr{L}[f'(t)]=sF(s)-f(0) L [ f ′ ( t ) ] = s F ( s ) − f ( 0 )
L [ f ( n ) ( t ) ] = s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 ) − s n − 2 f ′ ( 0 ) − ⋅ ⋅ ⋅ − f ( n − 1 ) ( 0 ) \mathscr{L}[f^{(n)}(t)]=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\,···\,-f^{(n-1)}(0) L [ f ( n ) ( t ) ] = s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 ) − s n − 2 f ′ ( 0 ) − ⋅ ⋅ ⋅ − f ( n − 1 ) ( 0 )
應用：求解微分方程組的初值問題；求解冪函數f ( t ) = t m f(t)=t^m f ( t ) = t m
像函數的導函數：
F ′ ( s ) = − L [ t f ( t ) ] F'(s)=-\mathscr{L}[tf(t)] F ′ ( s ) = − L [ t f ( t ) ]
F ( n ) ( s ) = ( − 1 ) n L [ t n f ( t ) ] F^{(n)}(s)=(-1)^{n}\,\mathscr{L}[t^nf(t)] F ( n ) ( s ) = ( − 1 ) n L [ t n f ( t ) ]
應用：求t sin ω t t\sinωt t sin ω t t 2 c o s 2 t t^2cos^2t t 2 c o s 2 t
2.4 積分性質
積分的像函數：
L [ ∫ 0 t f ( t ) d t ] = 1 s F ( s ) \mathscr{L}[\int_0^tf(t)dt]=\frac{1}{s}F(s) L [ ∫ 0 t f ( t ) d t ] = s 1 F ( s )
L ∫ 0 t d t ∫ 0 t d t ⋅ ⋅ ⋅ [ ∫ 0 t f ( t ) d t ] = 1 s n F ( s ) \mathscr{L}{\int_0^tdt}{\int_0^tdt\,···\,}[\int_0^tf(t)dt]=\frac{1}{s^n}F(s) L ∫ 0 t d t ∫ 0 t d t ⋅ ⋅ ⋅ [ ∫ 0 t f ( t ) d t ] = s n 1 F ( s )
應用：求函數f ( t ) = s i n t t f(t)=\frac{sint}{t} f ( t ) = t s i n t ，當式中s取一些確定的數，可以用來求一些函數的反常積分（廣義積分（也就高數上考的最多的積分））
像函數的積分：
∫ s ∞ F ( s ) d s = L [ f ( t ) t ] \int_s^\infty F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t}] ∫ s ∞ F ( s ) d s = L [ t f ( t ) ]
∫ s ∞ d s ∫ s ∞ d s ⋅ ⋅ ⋅ ∫ s ∞ F ( s ) d s = L [ f ( t ) t n ] \int_s^\infty ds\int_s^\infty ds\,···\,\int_s^\infty F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t^n}] ∫ s ∞ d s ∫ s ∞ d s ⋅ ⋅ ⋅ ∫ s ∞ F ( s ) d s = L [ t n f ( t ) ]
應用：s取一些特殊值時，拉氏變換也可以用來求一些函數的反常積分
例 ∫ 0 + ∞ sin t t d t \int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t} dt ∫ 0 + ∞ t sin t d t
即求s = 0時，函數f ( t ) = s i n t t f(t)=\frac{sint}{t} f ( t ) = t s i n t
已知 sin t 的 像 函 數 爲 \sin t的像函數爲 sin t 的 像 函 數 爲 F [ s ] = L [ s i n t ] = 1 1 + s 2 F[s]=\mathscr{L}[sint]=\frac{1}{1+s^2} F [ s ] = L [ s i n t ] = 1 + s 2 1
由像函數的積分得
L [ s i n t t ] = ∫ s + ∞ 1 1 + s 2 d s = a r c cot s \mathscr{L}[\frac{sint}{t}]=\int_s^{+\infty}\frac{1}{1+s^2}ds= arc\cot s L [ t s i n t ] = ∫ s + ∞ 1 + s 2 1 d s = a r c cot s
2.5 延遲性質與位移性質
L [ f ( t − τ ) ] = e − s τ F ( s ) \mathscr{L}[f(t-τ)]=e^{-sτ}F(s) L [ f ( t − τ ) ] = e − s τ F ( s )
L [ e a t f ( t ) ] = ∫ 0 + ∞ e a t f ( t ) e − s t d t = ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − ( s − a ) t d t = F ( s − a ) \mathscr{L}[e^{at}f(t)]=\int_0^{+\infty}e^{at}f(t)e^{-st}dt=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-(s-a)t}dt=F(s-a) L [ e a t f ( t ) ] = ∫ 0 + ∞ e a t f ( t ) e − s t d t = ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − ( s − a ) t d t = F ( s − a )
應用：顧名思義延遲性質可以用來求sin ( t − π 2 ) \sin(t-\frac{\pi}{2}) sin ( t − 2 π )
三.
s的虛部越大，振盪頻率增長得越快。
附：常見拉普拉斯變換表
References:
