中國剩餘定理

中國剩餘定理

     中國剩餘定理是中國古代求解一次同餘方程組的方法，是數論中的一個重要定理。

     設m1，m2，m3，...，mk是兩兩互素的正整數，即gcd(mi,mj)=1，i!=j，i,j=1,2,3,...,k.

則同餘方程組：

x = a1 (mod n1)

x = a2 (mod n2)

...

x = ak (mod nk)

模[n1,n2,...nk]有唯一解，即在[n1,n2,...,nk]的意義下，存在唯一的x，滿足：

x = ai mod [n1,n2,...,nk], i=1,2,3,...,k。

解可以寫爲這種形式：

x = sigma(ai* mi*mi') mod(N)

      其中N=n1*n2*...*nk，mi=N/ni，mi'爲mi在模ni乘法下的逆元。

 

中國剩餘定理非互質版

    中國剩餘定理求解同餘方程要求模數兩兩互質，在非互質的時候其實也可以計算，這裏採用的是合併方程的思想。下面是詳細推導。

中國剩餘定理介紹

     在《孫子算經》中有這樣一個問題：“今有物不知其數，三三數之剩二（除以3餘2），五五數之剩三（除以5餘3），七七數之剩二（除以7餘2），問物幾何？”這個問題稱爲“孫子問題”，該問題的一般解法國際上稱爲“中國剩餘定理”。具體解法分三步：

1. 找出三個數：從3和5的公倍數中找出被7除餘1的最小數15，從3和7的公倍數中找出被5除餘1 的最小數21，最後從5和7的公倍數中找出除3餘1的最小數70。
2. 用15乘以2（2爲最終結果除以7的餘數），用21乘以3（3爲最終結果除以5的餘數），同理，用70乘以2（2爲最終結果除以3的餘數），然後把三個乘積相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。
3. 用233除以3，5，7三個數的最小公倍數105，得到餘數23，即233%105=23。這個餘數23就是符合條件的最小數。

     就這麼簡單。我們在感嘆神奇的同時不禁想知道古人是如何想到這個方法的，有什麼基本的數學依據嗎？

中國剩餘定理分析

     我們將“孫子問題”拆分成幾個簡單的小問題，從零開始，試圖揣測古人是如何推導出這個解法的。

     首先，我們假設n1是滿足除以3餘2的一個數，比如2，5，8等等，也就是滿足3*k+2（k>=0）的一個任意數。同樣，我們假設n2是滿足除以5餘3的一個數，n3是滿足除以7餘2的一個數。

     有了前面的假設，我們先從n1這個角度出發，已知n1滿足除以3餘2，能不能使得 n1+n2 的和仍然滿足除以3餘2？進而使得n1+n2+n3的和仍然滿足除以3餘2？

     這就牽涉到一個最基本數學定理，如果有a%b=c,則有(a+kb)%b=c(k爲非零整數)，換句話說，如果一個除法運算的餘數爲c，那麼被除數與k倍的除數相加（或相減）的和（差）再與除數相除，餘數不變。這個是很好證明的。

     以此定理爲依據，如果n2是3的倍數，n1+n2就依然滿足除以3餘2。同理，如果n3也是3的倍數，那麼n1+n2+n3的和就滿足除以3餘2。這是從n1的角度考慮的，再從n2，n3的角度出發，我們可推導出以下三點：

1. 爲使n1+n2+n3的和滿足除以3餘2，n2和n3必須是3的倍數。
2. 爲使n1+n2+n3的和滿足除以5餘3，n1和n3必須是5的倍數。
3. 爲使n1+n2+n3的和滿足除以7餘2，n1和n2必須是7的倍數。

    因此，爲使n1+n2+n3的和作爲“孫子問題”的一個最終解，需滿足：

1. n1除以3餘2，且是5和7的公倍數。
2. n2除以5餘3，且是3和7的公倍數。
3. n3除以7餘2，且是3和5的公倍數。

    所以，孫子問題解法的本質是從5和7的公倍數中找一個除以3餘2的數n1，從3和7的公倍數中找一個除以5餘3的數n2，從3和5的公倍數中找一個除以7餘2的數n3，再將三個數相加得到解。在求n1，n2，n3時又用了一個小技巧，以n1爲例，並非從5和7的公倍數中直接找一個除以3餘2的數，而是先找一個除以3餘1的數，再乘以2。

    這裏又有一個數學公式，如果a%b=c，那麼（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,也就是說，如果一個除法的餘數爲c，那麼被除數的k倍與除數相除的餘數爲kc。展開式中已證明。

    最後，我們還要清楚一點，n1+n2+n3只是問題的一個解，並不是最小的解。如何得到最小解？我們只需要從中最大限度的減掉掉3，5，7的公倍數105即可。道理就是前面講過的定理“如果a%b=c,則有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最終的最小解。

總結

   經過分析發現，中國剩餘定理的孫子解法並沒有什麼高深的技巧，就是以下兩個基本數學定理的靈活運用：

1. 如果 a%b=c , 則有 (a+kb)%b=c (k爲非零整數)。
2. 如果 a%b=c，那麼 (a*k)%b=kc (k爲大於零的整數)。

eg：

傳說西漢大將韓信，由於比較年輕，開始他的部下對他不很佩服。有一次閱兵時，韓信要求士兵分三路縱隊，結果末尾多2人，改成五路縱隊，結果末尾多3人，再改成七路縱隊，結果又餘下2人，後來下級軍官向他報告共有士兵2395人，韓信立即笑笑說不對（因2395除以3餘數是1，不是2），由於已經知道士兵總人數在2300~2400之間，所以韓信根據23，128，233，------，每相鄰兩數的間隔是105（3、5、7的最小公倍數），便立即說出實際人數應是2333人（因2333=128+20χ105+105，它除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2）。這樣使下級軍官十分敬佩，這就是韓信點兵的故事。 

 

 韓信點兵問題簡化：已知 n%3=2,  n%5=3,  n%7=2,  求n。 

兩道題是一樣的。但是韓信當時計算出結果的？ 
 韓信用的就是“中國剩餘定理”，《孫子算經》中早有計算方法，大家可以查閱相關資料。 
“韓信點兵”問題計算如下： 

因爲n%3=2, n%5=3, n%7=2 且 3，5，7互質 （互質可以直接得到這三個數的最小公倍數）

令x= n%3=2 ， y= n%5=3 ，z= n%7=2
      使5×7×a被3除餘1，有35×2=70，即a=2； 
       使3×7×b被5除餘1，用21×1=21，即b=1； 
       使3×5×c被7除餘1，用15×1=15，即c=1。 
那麼n =（70×x+21×y+15×z）%lcm(3,5,7) = 23 這是n的最小解

 而韓信已知士兵人數在2300~2400之間，所以只需要n+i×lcm(3,5,7)就得到了2333，此時i=22