母函數詳解

母函數（Generating function）詳解

在數學中，某個序列的母函數是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的信息。使用母函數解決問題的方法稱爲母函數方法。

母函數可分爲很多種，包括普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每個類型的一個母函數。構造母函數的目的一般是爲了解決某個特定的問題，因此選用何種母函數視乎序列本身的特性和問題的類型。

這裏先給出兩句話，不懂的可以等看完這篇文章再回過頭來看：

"把組合問題的加法法則和冪級數的t的乘冪的相加對應起來"

"母函數的思想很簡單—就是把離散數列和冪級數一一對應起來，把離散數列間的相互結合關係對應成爲冪級數間的運算關係，最後由冪級數形式來確定離散數列的構造. "

我們首先來看下這個多項式乘法：

由此可以看出:

1. x的係數是a₁,a₂,…a_n_{的單個組合的全體。}

2. x²的係數是a₁,a₂,…a_n的兩個組合的全體。

………

n. xⁿ的係數是a₁,a₂,….a_n的n個組合的全體（只有1個）。

由此得到：

母函數的定義：

對於序列a₀，a₁，a₂，…構造一函數：

稱函數G(x)是序列a₀，a₁，a₂，…的母函數

這裏先給出2個例子，等會再結合題目分析：

第一種：

有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？

考慮用母函數來接吻這個問題：

我們假設x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量，這樣：

1個1克的砝碼可以用函數1+x表示，

1個2克的砝碼可以用函數1+x²表示，

1個3克的砝碼可以用函數1+x³表示，

1個4克的砝碼可以用函數1+x⁴表示，

上面這四個式子懂嗎？

我們拿1+x²來說，前面已經說過，x表示砝碼，x的指數表示重量，即這裏就是一個質量爲2的砝碼，那麼前面的1表示什麼？1代表重量爲2的砝碼數量爲0個。（理解！）

不知道大家理解沒，我們這裏結合前面那句話：

"把組合問題的加法法則和冪級數的t的乘冪的相加對應起來"

1+x²表示了兩種情況：1表示質量爲2的砝碼取0個的情況，x²表示質量爲2的砝碼取1個的情況。

這裏說下各項係數的意義：

在x前面的係數a表示相應質量的砝碼取a個，而1就表示相應砝碼取0個，這裏可不能簡單的認爲相應砝碼取0個就該是0*x²(想下爲何？結合數學式子)。

所以，前面說的那句話的意義大家可以理解了吧？

幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函數的乘積表示：

(1+x)(1+x²)(1+x³)(1+x⁴)

=(1+x+x²+x³)(1+x³+x⁴+x⁷)

=1+x+x²+2x³+2x⁴+2x⁵+2x⁶+2x⁷+x⁸+x⁹+x¹⁰

從上面的函數知道：可稱出從1克到10克，係數便是方案數。（！！！經典！！！）

例如右端有2x⁵ 項，即稱出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

故稱出6克的方案有2，稱出10克的方案有1。

接着上面，接下來是第二種情況：

求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：

大家把這種情況和第一種比較有何區別？第一種每種是一個，而這裏每種是無限的。

以展開後的x⁴爲例，其係數爲4，即4拆分成1、2、3之和的拆分數爲4；

即：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

這裏再引出兩個概念整數拆分和拆分數：

所謂整數拆分即把整數分解成若干整數的和（相當於把n個無區別的球放到n個無標誌的盒子，盒子允許空，也允許放多於一個球）。

整數拆分成若干整數的和，辦法不一，不同拆分法的總數叫做拆分數。

現在以上面的第二種情況每種種類個數無限爲例，給出模板：

[cpp]view
plaincopyprint?

#include<iostream>  

usingnamespace std;  

constint _max = 10001;  

//c1是保存各項質量砝碼可以組合的數目  

//c2是中間量，保存沒一次的情況  

intc1[_max], c2[_max];    

intmain()  

{   //int n,i,j,k;  

    int nNum;  //  

    int i, j, k;  

    while(cin >> nNum)  

    {  

       for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①  

       {  

           c1[i] = 1;  

           c2[i] = 0;  

       }  

       for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②  

       {  

           for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③  

              for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④  

              {  

                  c2[j+k] += c1[j];  

              }  

           for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤  

           {  

              c1[j] = c2[j];  

              c2[j] = 0;  

           }  

       }  

       cout << c1[nNum] << endl;  

    }  

    return 0;  

}