UVa 10891 （區間DP）

【題目鏈接】
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=19461

【解題報告】
題目大意：給你一個N元序列，每個元有一個分數，每次可以從左邊拿或者從右邊拿任意多。A，B輪流拿，拿完爲止，求問A最多比B多拿多少。其中N<=100.
因爲兩個人都足夠聰明，因此當他們任意一人面臨一個(i,j)的局面時，因爲序列總和sum[j]-sum[i-1]是不變的，所以一定會選擇拿完之後另一個人面臨局面（k，l）得分最少。這是類似於博弈論的思想。
所以我們這樣設計dp狀態：
dp[i][j]表示面臨（i，j）局面的人最多可以拿多少分
那麼它可以轉移到
S={ dp（i+1,j）, dp(i+2,j) … dp(j,j) , dp(i,j-1) , dp(i,j-2) … , dp(i,i) , 0 }
一口氣拿完時，另一個人面臨的局面就是0.
所以狀態轉移方程就是dp[i][j]=sum-min;
DFS區間更新即可。
需要注意的是這樣做的時間複雜度是O(n^3)，仍然有很大的優化空間。

優化：
對於min{   dp（i+1,j）, dp(i+2,j)  ...  dp(j,j)   ,  dp(i,j-1) , dp(i,j-2) ... , dp(i,i)  }
設f(i+1,j)=min{ dp（i+1,j）, dp(i+2,j)  ...  dp(j,j) }
設g(i.j-1)=min{ dp(i,j-1) , dp(i,j-2) ... , dp(i,i)  }
那麼dp[i][j]=sum-min{  f(i+1,j),g(i,j-1),0 }
其中f和g均可以通過遞推得出：
f[i][j]=min{ f[i+1][j],dp[i][j] }
g[i][j]=min{ g[i][j-1],dp[i][j] }
所以時間複雜度被降到了O(n^2)

【參考代碼】

1.O（N^3）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
const int INF=2e9+1e8;

int n;
int dp[100+10][100+10];
int a[100+10],sum[100+10];

int DFS(  int i ,int j )
{
      if( dp[i][j]!=INF )return dp[i][j];
      int minn=INF;
      for(  int ii=i+1; ii<=j; ii++ )minn=min(  minn, DFS(  ii,j )  );
      for(  int jj=j-1; jj>=i; jj-- )minn=min(  minn,  DFS( i,jj ) );
      minn=min( minn,0 );  //i~j全部拿完的狀況
      return dp[i][j]=sum[j]-sum[i-1]-minn;
}

int main()
{
      while(  ~scanf("%d",&n)  && n )
      {
            for(  int i=1; i<=n; i++ )scanf("%d",&a[i]);

            for( int i=1; i<=n; i++ )
                  for(  int j=1; j<=n; j++ )
            {
                  if( i==j )dp[i][j]=a[i];
                  else dp[i][j]=INF;
            }
            memset(sum,0,sizeof(sum));
            for( int i=1; i<=n; i++ )sum[i]=sum[i-1]+a[i];
            //   dp[i][j]=sum(i,j)-min(  dp[i+1][j],  dp[i+2][j],...dp[j][j],  dp[i][j-1],...,dp[i][i] );
            printf(  "%d\n",2*DFS(1,n)-sum[n] );
      }


   return 0;
}

2.O(N^2)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
const int INF=2e9+1e8;

int n;
int dp[100+10][100+10],f[100+10][100+10],g[100+10][100+10];
int a[100+10],sum[100+10];


int main()
{
      while(  ~scanf("%d",&n)  && n )
      {
            for(  int i=1; i<=n; i++ )scanf("%d",&a[i]);
            memset(sum,0,sizeof sum);
            for( int i=1; i<=n; i++ )sum[i]=sum[i-1]+a[i];


           memset(f,0,sizeof f);
           memset(g,0,sizeof(g));

            for( int i=n; i>=1; i--  )
            for( int j=i; j<=n; j++ )
            {
                 int temp=min(  f[i+1][j],g[i][j-1] );
                 temp=min(0,temp);
                 dp[i][j]=sum[j]-sum[i-1]-temp;
                 f[i][j]=min(  f[i+1][j],dp[i][j] );
                 g[i][j]=min( g[i][j-1],dp[i][j] );
           }
           printf(  "%d\n",2*dp[1][n]-sum[n] );
      }

   return 0;
}