運籌學那些事，專科學生學習運籌學之馬爾柯夫分析，No.8

馬爾柯夫分析的數學原理

在某些事物的概率轉換過程中，第n次試驗的結果，常常由第n-1次試驗的結果所決定

馬爾柯夫過程：對於由一種情況轉換至另外一種情況的過程，若該過程具有轉換概率，而且此種轉換概率又可以依據其緊接的前項情況推算出來，則這種過程即稱爲馬爾柯夫過程。

一連串的此種轉換過程的整體稱爲馬爾柯夫鎖鏈。

對於馬爾柯夫過程或馬爾柯夫鎖鏈可能產生之演變加以分析，以觀察和預測該過程或該鎖鏈未來變動的趨向，則這種分析、觀察和預測的工作即爲馬爾柯夫分析。

概率向量

任意一個向量 μ = (μ₁，μ₂，μ₃，…，μ_n)，如果它內部的各個元素非負數，且總和等於1，則此向量稱爲概率向量。如 μ = (0.25,0.25,0.5) 即爲概率向量

概率矩陣

一方陣 P = (P_ij) 中，如果其各行都是概率向量，則此方陣稱爲概率矩陣或概率方陣。

定理1

如果A和B都是概率矩陣，則AB的乘積亦爲概率矩陣，同理Aⁿ亦爲概率矩陣。

定理2

設有概率矩陣

即Pⁿ矩陣中的每一個行向量都相等。Pⁿ稱作P的固定概率矩陣或平衡概率矩陣。證明屬於數學上的內容，有興趣的瞭解，教材中給的是一些案例

由於對矩陣內的概率值只取兩位小數（對經濟管理問題已經足夠用），因此上述兩幅圖中，上圖到P⁸已得到平衡概率矩陣，下圖到P⁶已經趨向平衡。

定理3

設有任一概率向量T = （t₁，t₂，…，t_n），任一概率矩陣

當n->∞時，必有：TPⁿ = (z₁，z₂，…，z_n)，其中向量Z = (z₁，z₂，…，z_n) 爲固定概率矩陣Pⁿ中的任一行向量。

馬爾柯夫分析問題的要求

馬爾柯夫分析的定義爲：通過分析幾種變量現時運動的情況來預計這些量未來運動情況的一種方法。

或者說，馬爾柯夫分析是分析某變量的當前狀況並預測該變量未來狀況的一種方法。

品牌轉換實例分析說明

假設某居民小區的牛奶全部由A、B、C三個牛奶場供應。每個牛奶場都知道，由於宣傳廣告、服務不周或其他原因，訂戶在一段時間內常發生從一家牛奶場訂轉向另一家牛奶場訂奶的情況。如果三家牛奶場都保存着他們的訂戶數和和每戶飲用哪家牛奶場牛奶的記錄，我們就具備了應用這個企業管理工具所具備的一切資料。

假定表9-1說明在一個月的觀察期內訂戶的流動情況。爲了進一步簡化必需的數字，我們假定在此期間，既沒有老訂戶退出，也沒有新訂戶加入

粗略一看，會以爲在一個月中有20個訂戶轉了戶：10個從B轉向A，10個從C轉向A。該結論錯誤，需要從更加細緻的角度分析。參照下表- 訂戶之間的真實轉換。從下圖可以看到，牛奶場A增添20個訂戶是三個牛奶場訂戶複雜的移動結果。這種活動在銷售學上有時叫做商標轉換

本部分比較容易，直接看教材即可，最終的結論如下

按淨得或淨失訂戶所做的簡單分析對精明的管理是不合適的。對從各個對口獲得的比率和損失給各個對手的比率，管理部分所需要的是更細緻的分析。

有上述這些數據，管理人員可以：

1，預測未來某個時刻各銷售者在市場中得到的份額。
2，預測將來銷售者在市場中份額的得失比率。
3，預測將來會不會出現市場平衡（穩定或拉平市場份額）。
4，按照對市場份額得失的確切效果來分析銷售者的推銷活動。

爲了將上述簡單例子過渡到馬爾柯夫分析，我們計算三個牛奶場的轉移概率。轉移概率就是某個銷售者（本例爲牛奶場）保持、獲得或失去消費者的概率。

說白了就是牛奶場B失去了50個訂戶，也就是它保持訂戶的概率是0.9，牛奶場A保持訂戶的概率是0.8，牛奶場C保持訂戶的概率是0.85

從上圖中，已經對每個牛奶場每月保持老訂戶的比例，有所瞭解了。接下來要計算其他概率。下表是獲取到的數據，不是計算得來的。（銷售中採集到的數據）

導出轉移概率矩陣

接下來將上述9-3表和9-4錶轉換成更精確的形式，其中各種增益或者損失全部換算成轉移概率。轉移概率排列成一種叫做矩陣的格式（矩陣是線性代數中的概念）

根據表9-3和9-4得到如下轉移概率矩陣

經過計算之後轉移矩陣爲

通過轉移概率的矩陣各行可以做出一些理解
以下內容直接照搬教材內容，瞭解即可

第一行指出牛奶場A保持其0.8的訂戶（160戶），喪失0.1的訂戶（20戶）給牛奶場B，喪失0.1的訂戶（20戶）給牛奶場C
第二行指出牛奶場B保持其0.9的訂戶（450戶），喪失0.07的訂戶（35戶）給牛奶場A，喪失0.03的訂戶（15戶）給牛奶場C
第三行指出牛奶場C保持其0.85的訂戶（255戶），喪失0.083的訂戶（25戶）給牛奶場A，喪失0.067的訂戶（20戶）給牛奶場B

逐列觀察得出下列信息：

第一列指出牛奶場A保持其0.8的訂戶（160戶），獲得牛奶場B的0.07的訂戶（35戶），獲得牛奶場C的0.083的訂戶（25戶）。
第二列指出牛奶場B保持其0.9的訂戶（450戶），獲得牛奶場A的0.1的訂戶（20戶），獲得牛奶場C的0.067的訂戶（20戶）。
第三列指出牛奶場C保持其0.85的訂戶（255戶），獲得牛奶場A的0.1的訂戶（20戶），獲得牛奶場B的0.03的訂戶（15戶）。

有了這樣的信息，基本關係就能較容易地考察到。
用矩陣顯示數據對市場管理產生多種好處。它可根據市場分享率的增加和減少幫助管理者分析其努力的效果。它可以預測一種牌號的市場分享率在將來增加或減少的速率，而且可以看出將來市場平衡的可能性。

未來市場份額的預測

7月1日的市場份額分別爲 A = 22% ，B = 49%，C = 29%

如果想要計算牛奶場在8月1日可能佔整個市場多少份額，只需要把7月1日的市場份額排成一個矩陣，並把這個矩陣與轉移概率的矩陣相乘。（線性代數的基礎知識）

所以 8月1日可能的市場份額爲：
（0.234，0.483，0.283） 總和 = 1.000

9月1日的市場份額

計算方法一：

將8月1日的可能市場份額乘以原轉移概率矩陣

計算方法二：

用7月1日的市場份額乘以原轉移概率矩陣的平方

計算方式屬於數學基礎內容，手動計算比較麻煩，一般由計算機負責計算

確定平衡條件

三個最終的即平衡的市場份額是什麼

1. 獨家牛奶場的平衡
   爲說明平衡，新設一個轉移概率的矩陣：
   
   因爲C從來不喪失一個訂戶，而其它牛奶場不斷地把訂戶喪失給C，因此C遲早會擁有所有的用戶。用馬爾柯夫的術語來說，這叫做一個單狀態的槽或盆，意思是牛奶場之一的C最終獲得全部訂戶，C也叫做一個吸收狀態。

2. 兩個牛奶場的平衡
   第二類平衡也能出現
   
   該圖不太對，下圖更合適一些
   
   很容易看出，牛奶場B和牛奶場C最終奪走了A的所有訂戶，B與C最終評分市場。這叫做一個雙槽或盆

3. 三個牛奶場的平衡

該平衡不存在槽和盆的平衡

確定平衡條件，篇幅不大，瞭解即可

市場份額與平衡狀態的關係

最終的平衡狀態取決於轉移概率不變，而與初始市場份額無關

馬爾柯夫分析在管理工作中的應用

1. 在設備修理中的應用
2. 選擇設備保養地點
3. 選擇零件的更換方式
4. 預測人口的變動情況
5. 預測市場佔有率

自考說明

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對於馬爾柯夫分析法相關知識在自考中佔比比例不高，但是具備很大的應用價值，尤其是本章結尾前的馬爾柯夫分析在管理工作中的應用，大家可以更加深入的瞭解一下

從2017年~2019年，近三年都出現了相關試題，考察內容以未來市場份額預測爲主，請重點掌握！！！