運籌學那些事，專科學生學習運籌學之圖論方法，No.7

圖的基本概念

圖的最基本要素是：

1. 點以及點之間的一些連線（簡稱線或者邊）
2. 帶箭頭的線（有向線）
3. 在圖的點旁或邊旁標上數（有時稱之爲杈）

樹和樹的逐步生成法

樹需要滿足2個基本條件

1. 連通的
2. 不含圈

一個性質：任何一個樹中的線數必定是它的點數減1

最小枝杈樹問題

概念

最小枝杈樹問題是關於在一個網絡中，從一個起點出發到所有點，找出一條或幾條路線，以使在這樣一些路線中所採用的全部支線的總長度是最小的，或敷設費用最少

該處提到了兩種方法，普賴姆法 和 克魯斯喀爾法 。 自考的重點是 普賴姆法

下面是一個在住宅區安裝供水管的案例

最小枝杈樹算法是按把最近的未接點來接到那些已接點上去的方法來進行的。連接方法如下

1. 從始點出發，找到和1最近的節點，將1 - 3 連接好
   
2. 從已接節點1、3出發，找到和1、3最近的節點，發現4與1距離最近，連接1 - 4
   
3. 從已接點1、3、4出發，找到與1、3、4最近的，發現7與1距離最近，將7與1連接
   
4. 從已接點1、3、4、7出發，找到節點最近的節點，發現5與3距離最近，連接
   
5. 相同的方法，找到5、6之間的距離最短
   
   最終得到如下圖示
   

最短路線問題

當通過網絡的各邊所需的時間、距離或費用爲已知時，找到從入口(s)到出口(t)所需的最少時間，最短距離或最少費用的路徑問題，這些問題稱作網絡的路線問題。

最短路線問題計算方法
從終點開始逐步逆向推算

從終點開始推算之後，得到最小的里程是650，這個就是最短路線

最大流量問題

當以物體、能量或信息等作爲流量流過網絡時，怎樣使流過網絡的流量最大，或者使流過網絡的流量的費用或時間最小。通常把設計這樣的流量模型問題，叫做網絡的流量問題。

自考對於本節，目前還未涉及 最大流量問題相關計算題，可以選看

自考說明

本節在自考部分，主要涉及的題目是最小枝杈樹與最短距離，兩個重點，在本套課程結束之後，有專門針對於這部分的複習內容。

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