hdu 5451 Best Solver (特徵方程求通項+廣義Fibonacci數列找循環節)

題目大意：y=(5+26√)1+2x。給出x和M，求這個式子的整數部分對M取模的值

惡補了一下線性代數。。。

記λ1=5+2√6，λ2=5-2√6。則λ1λ2=1,λ1+λ2=10

則λ1、λ2可以看作特徵方程x^2-10x+1=0的兩根。

該特徵方程對應的數列遞推公式爲a[n]=10*a[n-1]-a[n-2]。

由定理3，得到通項a[n]=(5+2√6)^n+(5-2√6)^n

觀察通項，發現(5+2√6)^n>1，(5-2√6)^n<1，因此，(5+2√6)^n的整數部分的值即爲a[n] - 1。

到這裏，可以利用遞推公式a[n]=10*a[n-1]-a[n-2]，構造矩陣來找循環節，相關方法：點擊打開鏈接

對於該題，發現n=2^x指數非常大，而模數M<=46337，打表發現對於每一個模數，數列a[n]都具有循環節，並且都比較小。

因此，也可以直接暴力找一下循環節。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
using namespace std;
typedef double db;
typedef __int64 LL;
#define mod 1000000007
#define maxn 50005
LL n;
int r[maxn],a[maxn],M;
int POW(int a,LL b,int p)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    LL T;
    int ca=1,i;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        scanf("%I64d%d",&n,&M);
        printf("Case #%d: ",ca++);
        a[0]=2%M,a[1]=10%M;
        if(!r[M]){
            for(i=2;;++i)
            {
                a[i]=(10*a[i-1]%M-a[i-2]+M)%M;
                if(a[i-1]==a[0]&&a[i]==a[1]) {r[M]=i-1;break;}
            }
        }
        int p=(POW(2,n,r[M])+1)%r[M];
        for(i=2;i<=p;++i) a[i]=(10*a[i-1]%M-a[i-2]+M)%M;
        printf("%d\n",(a[p]-1+M)%M);
    }
    return 0;
}