數學建模上課（一）推導萬有引力定律

數學建模上課（一）推導萬有引力定律

開始的開始

萬有引力的推導，是一個偉大而且美麗的過程，他承接着前人的研究成果，爲後世開闢的新的天地。

一頓操作

牛頓三定律

這裏主要用到牛頓第二定律
$\vec{F} = m\vec{a}$

開普勒三定律

我們先來看一看開普勒三定律可以得出什麼結論：

1、開普勒第一定律：

行星圍繞太陽轉動軌跡是橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。

把恆星行星放到極座標中，恆星爲原點。
$r = \frac{p}{1-ecos\theta}$
其中焦參數爲
$p=\frac{b^2}{a}$
離心率爲
$e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$
橢圓長軸a，短軸b.

設
$\left\{\begin{matrix} r=r(t)\\ \theta=\theta(t) \end{matrix}\right.$

對於r求導，得到徑向速度$\dot{r}$
$\frac{dr}{dt}=\dot{r}$
徑向加速度$\ddot{r}$
$\frac{d^2r}{dt^2}=\ddot{r}$
對於$\theta$求導，得到角速度$\omega$
$\frac{d\theta}{dt}=\omega$
角加速度$\dot{\omega}$
$\frac{d\omega}{dt}=\dot{\omega}$

換一種座標系，笛卡爾座標系，行星座標爲
$\vec{r}=(rcos\theta,rsin\theta)$
所以
$\vec{F} = m\vec{a}=\frac{d\vec{r}^2}{d^2t}$
自然分別求 $rcos\theta$和$rsin\theta$的二階導得到x，y方向上的加速度。
$\frac{d^2(rcos\theta)}{dt^2}=(\ddot{r}-r\omega ^2)cos\theta - (2\dot{r}\omega+r\dot{\omega})sin\theta$
$\frac{d^2(rsin\theta)}{dt^2}=(2\dot{r}\omega)cos\theta+(\ddot{r}-r\omega^2)sin\theta$
設方向向量爲
$\vec{r_{0}}=(cos\theta,sin\theta)$
可以得到
$\vec{a}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=(\ddot{r}-r\omega^2)\vec{r_{0}}+\frac{2\dot{r}\omega+r\dot{\omega}}{\omega}\vec{\dot{r_0}}$

那麼問題變得清楚多了，只需要求$\ddot{r}-r\omega^2$和$\frac{2\dot{r}\omega+r\dot{\omega}}{\omega}$即可。
接下來我們看看開普勒第二第三定律能給我們帶來什麼結果。

2、開普勒第二定律：

單位時間裏，極徑掃過的橢圓面積爲常數。
$\frac{dA}{dt}=常數$

求$\frac{2\dot{r}\omega+r\dot{\omega}}{\omega}$

使用微積分的思想
$dA=\frac{1}{2}r^{2}d\Theta$
可以算出
$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^{2}\omega$
面積A我們都可以計算或者測量出來
$A=\pi ab$
T爲繞太陽一週花的時間
積分得到
$\pi ab = \int_{0}^{T}dA=\int_{0}^{T}\frac{dA}{dt}dt=\frac{1}{2} r^{2}\omega T$
所以得到了
$r^{2}\omega = \frac{2\pi ab}{T}$
既然是常數，那麼自然可以求一波導
$(r^2\omega)'=2r\dot{r}\omega + r^2\dot{\omega}=0$
化簡得到
$2\dot{r}\omega + r\dot{\omega}=0$
於是，我們求出了剛剛開普勒第一定律立下的兩個目標之一
$\frac{2\dot{r}\omega+r\dot{\omega}}{\omega}=0$
只剩下了
$\vec{a}=(\ddot{r}-r\omega^2)\vec{\dot{r_0}}$

求$\ddot{r}-r\omega^2$

現在，開始下一步求$\ddot{r}-r\omega^2$.
接下來的操作我承認是非常騷的，因爲我是真的沒有想到可以這麼玩。我能做的只是跟着公式一步一步往下走，看看能得出啥就寫啥，這麼往下撞，這這裏表達一下對大佬的崇拜。

加速度的值$\ddot{r}-r\omega^2$來自$rcos\theta$(或$rsin\theta$)求二階導，橢圓方程$p=r(1-ecos\theta)$恰好有$rcos\theta$項。所以對橢圓方程兩邊求導即可得到$\ddot{r}-r\omega^2$

得到
$0=\ddot{p}=\frac{\ddot{r}-r\omega^2}{r}p+r\omega^2$
所以
$\ddot{r}-r\omega^2=-\frac{r^2\omega^2}{p}$
前面我們求出了$r^2\omega=\frac{2\pi ab}{T}$
那麼
$\ddot{r}-r\omega^2 =-\frac{r^2\omega^2}{p} =-（r^2\omega）^2\frac{1}{r^2}\frac{a}{b^2}=-4\pi^2\frac{a^3}{T^2}\frac{1}{r^2}$
看到這裏，我們就可以進入開普勒第三定律了。

3、開普勒第三定律：

橢圓的半長軸a的三次方比運行週期T的二次方成常數。
$\frac{a^{3}}{T^{2}}=常數$
還是使用牛頓第二定律
$\vec{F} =m\vec{a} =m(\ddot{r}-r\omega^2)\vec{r_0} =-m(4\pi^2\frac{a^3}{T^2})\frac{1}{r^2}\vec{r_0} =-(\frac{4\pi^2}{M}\frac{a^3}{T^2})\frac{Mm}{r^2}\vec{r_0}$

最後

設
$G = (\frac{4\pi^2}{M}\frac{a^3}{T^2})$
得
$\vec{F}=-G\frac{Mm}{r^2}\vec{r_0}$

成功推導。
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