數學建模 層次分析法(AHP) 個人總結 續更

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1.問題提出

日常生活中有很多的決策問題。決策是指在面臨多種方案時需要依據一定的標準（一個或多個）選擇某一種方案。

例，擇業：
面臨畢業，可能有高校、科研單位、企業等單位可以去選擇，一般依據工作環境、工資待遇、發展前途等因素擇業。

2.概念提出

3.層次分析法的基本思路

4.層次分析法的基本步驟

4.1 建立層次結構模型

將問題包含的因素分層：
1.最高層（解決問題的目的）；
2.中間層（選擇爲實現總目標而採取的各種措施、方案所必須遵循的準則。也可稱策略層、約束層、準則層等）；
3.最低層（用於解決問題的各種措施、方案等）。

如上例：
假設小明選擇了高校、科研單位、企業作爲擇業目標，以工作環境，工作待遇，發展前途三個指標.

4.2 構建成對比較矩陣

在確定各層次各因素之間的權重時，如果只是定性的結果（個人理解是直接判斷每個因素的佔比），則常常不容易被別人接受，因而Saaty等人提出一致矩陣法。

1.不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較。

2.對此時採用相對尺度，以儘可能減少性質不同的諸因素相互比較的困難，以提高準確度。

引入判斷的標度方法：

評估尺度	定義	說明
1	同等重要	兩要素的貢獻程度具同等重要性
3	稍微重要	經驗與判斷稍微偏好某一要素
5	頗爲重要	經驗與判斷強烈偏好某一要素
7	極爲重要	實際顯示非常強烈偏好某一要素
9	絕對重要	有足夠證據肯定絕對偏好某一要素
2,4,6,8	相鄰尺度之中間值	介於兩種判斷之間

	工作環境	工資待遇	發展前途
工作環境	1
工資待遇		1
發展前途			1

再次引用上例，如果我們覺得：

1.工資待遇比工資環境稍微重要，工資待遇/工資環境=3

2.發展前途和工資待遇介於稍微重要和同等重要之間，發展前途/工資待遇=2

3.發展前途比工資環境極爲重要，發展前途/工資待遇=7

得到下表：

	工作環境	工資待遇	發展前途
工作環境	1	1/3	1/7
工資待遇	3	1	1/2
發展前途	7	2	1

得到矩陣：記爲$A$， 對應的元素爲$a_{ij}$
$A = \left[ \begin{matrix} 1&1/3&1/7\\ 3&1&1/2 \\ 7&2&1 \end{matrix} \right]$
其中： $a_{ij}$表示，與指標$j$相比，$i$的重要程度。

4.3 做一致性檢驗

從理論上分析得到：如果$A$是完全一致的成對比較矩陣，應該有
$a_{12}a_{23}=a_{13}$

$1/2 *1/3=1/6$

而實際上，

$a_{13} = 1/7$

例如：

工資待遇/工資環境=3
發展前途/工資待遇=2
此時，如果完全一致，發展前途/工資待遇 應該等於6，而我們標度，發展前途/工資待遇=7
　　
對比較矩陣時要求滿足完全滿足是不太可能的。因此退而要求成對比較矩陣有一定的一致性，即可以允許成對比較矩陣存在一定程度的不一致性。

檢驗步驟：
1.計算衡量一個成對比較矩陣 A （n>1 階方陣）不一致程度的指標CI
　　$CI=\frac{\lambda_{max}(A)-n}{n-1}$

2.查找對應的平均隨機一致性指標RI

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
RI	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.41	1.46	1.49	1.52	1.54	1.56	1.58	1.59

3.計算一致性比例CR

$CR=\frac{CI}{RI}$

判斷方法如下：
當CR<0.1時，判定成對比較陣 A 具有滿意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否則就調整成對比較矩陣 A，直到達到滿意的一致性爲止。

對上例矩陣
$A = \left[ \begin{matrix} 1&1/3&1/7\\ 3&1&1/2 \\ 7&2&1 \end{matrix} \right]$
　計算得到$\lambda_{max}(A)=3.003,CI=\frac{\lambda_{max}(A)-3}{3-1}=0.0013$,查得$RI=0.52$，
$CR=\frac{CI}{RI}=\frac{0.018}{1.12}=0.0025<0.1$

這說明 A 不是一致陣，但 A 具有滿意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。

4.4 層次總排序及決策

現在完整解決例題，從高校和企業選擇一個最符合上述3個因素的就業地點。
對此，對高校和企業分別比較它們的工作環境，工資待遇，發展前途.

工作環境	高校	科研單位	企業
高校	1	3	5
科研單位	1/3	1	4
企業	1/5	1/4	1

得到方陣：
$B1 = \left[ \begin{matrix} 1&3&5\\ 1/3&1&4\\ 1/5&1/4&1 \end{matrix} \right]$

工資待遇	高校	科研單位	企業
高校	1	1/7	1/5
科研單位	7	1	3
企業	5	1/3	1

得到方陣：
$B2 = \left[ \begin{matrix} 1&1/7&1/5\\ 7&1&3\\ 5&3&1 \end{matrix} \right]$

發展前途	高校	科研單位	企業
高校	1	1/5	1/3
科研單位	5	1	2
企業	3	1/2	1

得到方陣：
$B3 = \left[ \begin{matrix} 1&1/5&1/3\\ 5&1&2\\ 3&1/2&1 \end{matrix} \right]$
　
同時也計算這三個判斷矩陣的$CR$,經計算

$CR(B1) = 0.08246797115384596$

$CR(B2)= 0.09039914423076918$

$CR(B3)=0.003552500000000206$

都可以接受

計算權重：

1.將判斷矩陣按照列歸一化
(每一個元素出意其所在列的和)

工作環境	高校	科研單位	企業
高校	0.652	0.706	0.5
科研單位	0.217	0.235	0.4
企業	0.130	0.059	0.1

2.將同屬於一個因素的值相加併除以$n$得

工作環境	權重
高校	0.610
科研單位	0.284
企業	0.096

同理，

工資待遇	權重
高校	0.072
科研單位	0.589
企業	0.339

發展前途	權重
高校	0.109
科研單位	0.570
企業	0.321

	指標權重
工作環境	0.092
工資待遇	0.282
發展前途	0.626

彙總結果，得到權重矩陣

	指標權重	高校	科研單位	企業
工作環境	0.092	0.610	0.284	0.096
工資待遇	0.282	0.072	0.589	0.339
發展前途	0.626	0.109	0.570	0.321

計算得，高校=0.092x0.060+0.282x0.072+0.626x0.109=0.145
同理，科研單位=0.549
企業=0.305

綜上，擇業應該選擇科研單位

5.參考文獻

1. 層次分析法-MBA智庫 https://wiki.mbalib.com/wiki/AHP
2. 數學建模清風課程筆記
3. 百度文庫鏈接: link.