楊輝三角（1）
目的要求
1．瞭解有關楊輝三角的簡史，掌握楊輝三角的基本性質。
2．通過研究楊輝三角橫行的數字規律，培養學生由特殊到一般的歸納猜想能力。
3．通過小組討論，培養學生髮現問題。探究知識、建構知識的研究型學習習慣及合作化學習的團隊精神。
內容分析
本課的主要內容是總結楊輝三角的三個基本性質及研究發現楊輝三角橫行的若干規律。
楊輝三角的三個基本性質主要是二項展開式的二項式係數即組合數的性質，它是研究楊輝三角其他規律的基礎。楊輝三角橫行的數字規律主要包括橫行各數之間的大小關係。組合關係以及不同橫行數字之間的聯繫。
研究性課題，主要是針對某些數學問題的深入探討，或者從數學角度對某些日常生活中和其他學科中出現的問題進行研究。目的在於培養學生的創新精神和創造能力。它要求教師給學生提供研究的問題及背景，讓學生自主探究知識的發生發展過。從問題的提出、探索的過程及猜想的建立均主要由學生自主完成，教師不可代替，但作爲組織者，可提供必要指導。
教師首先簡介楊輝三角的相關歷史，激發學生的民族自豪感和創造慾望，然後引導學生總結有關楊輝三角的基本知識（研究的基礎）及介紹發現數字規律的主要方法（研究的策略），並類比數列的通項及求和，讓學生對n階楊輝三角進行初步的研究嘗試活動，讓學生充分展開思維進入研究狀態。
以下主要分小組合作研究楊輝三角的橫行數字規律，重點發現規律，不必在課堂上證明。
教學過程
（一）回顧舊知
1．用電腦展示賈憲三角圖、朱泄傑的古法七乘方圖、帕斯卡三角圖（附後），同時播放用古代民族樂器演奏的音樂。
教師介紹楊輝三角的簡史：北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》（1961年）記載並保存了“賈憲三角”，故稱楊輝三角。元朝數學家朱世傑在《四元玉鑑》（1303年）擴充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”。在歐洲直到1623年以後，法國數學家帕斯卡在13歲時發現了“帕斯卡三角”。
2．用電腦展示15階楊輝三角或事先印好15階楊輝三角分發給學生。對照楊輝三角，回顧高二下學期學過的楊輝三角的構造及基本性質，並由學生敘述。
1°與二項式定理的關係：楊輝三角的第n行就是二項式展開式的係數列 。
2°對稱性：楊輝三角中的數字左、右對稱，對稱軸是楊輝三角形底邊上的“高”，即 。
3°結構特徵：楊輝三角除斜邊上1以外的各數，都等於它“肩上”的兩數之和，即 。
（二）分組研究楊輝三角橫行規律（將全班學生按前後排四或五人一組分成若干研究小組）
1．介紹數學發現的方法：楊輝三角中蘊涵了許多優美的規律。古今中外，許多數學家如賈憲、楊輝、朱世傑、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過，並將研究結果應用於其他工作。他們研究的方法可以歸納爲：
15階楊輝三角
2．學生嘗試探索活動。
（1）n階楊輝三角中共有多少個數？
（2）n階楊輝三角的通項公式是什麼？即n階楊輝三角中的第k行第r個數是什麼？
（3）n階楊輝三角的第k行各數的和是多少？所有數的和是多少？
學生獨立思考後，由學生髮言，得出結論。n階楊輝三角中共有 個數， 第n+2行第3個數；通項公式爲 ， ， 。
3．按研究橫行數字規律的方向開展研究工作，工作的重點是發現規律。教師巡視指導，必要時可參與某小組的討論活動。最後由小組代表陳述研究結果及建立猜想的大致思路。
（1）楊輝三角的第2k行中第k個數最大；即 ；第2k＋1行中第是k個數與第k＋l個數相等且最大，即 ；2k階楊輝三角中最大數爲 ，2k＋1階楊輝三角中的最大數爲
。
（2）楊輝三角中第 行的所有數都是奇數（k∈N*），即 爲奇數（m=0，1，…， ）；第 行的所有數（除兩端的1以外）都是偶數（k∈N*），即 爲偶數（r=1，2，…， ）；其他行的所有數中，一定既有偶數又有除1以外的奇數。
（3）第p（p爲素數）行除去兩端的數字1以外的所有數都能被p整除，其逆命題也成立。即對任意r∈{1，2，…，n-1}，都有 是素數。
（4）將第n行的所有數按從左到右的順序合併在一起得到的多位數等於 。
（5）第2n行的第n個數是第2n-1行的第n-1個數的2倍，即。 。
……
（三）小結
（1）請學生小結自己在研究過程中的體驗：如何選定研究線索，使用什麼方法發現結論，碰到什麼困難，如何突破創新等。
（2）教師規範對楊輝三角各性質的表述，小結探究思路。
佈置作業
如圖，每一幅小圖中的圓的個數及圓上的點、線段、三角形、四邊形、五邊形、六邊形的數目有一定的變化規律，研究楊輝三角，你能找出兩者間的關係嗎？
附（1）：證明：當 時， 是奇數。
證明：對任何一個正整數m，都存在唯一的自然數 與正奇數 ，使 。設 ， ，…， ，…。
當 時，
∵上式的分子、分母都是奇數，且分式值是正整數，
∴ 是奇數。
附（2）：
楊輝三角（2）
目的要求
1．探索楊輝三角斜行的數字規律，並應用規律求一類數列的前n項和；
2．探索楊輝三角與其他數學對象之間的聯繫，培養學生應用數學知識方法的能力。
內容分析
本節課的主要內容是繼續研究楊輝三角的數字規律及其與其他數學問題之間的聯繫。
1．從研究平行於楊輝三角形“兩腰”的斜邊上的數字規律的過程中，我們可以發現朱世傑恆等式： 。這個規律其實是楊輝三角第三條基本性質 的推廣形式。應用朱世傑恆等式，可以求出 的和式值。
2．研究經過兩數 ，或 的斜邊上的數字規律，可以得到著名的斐波那契數列 。由斐波那契數列的通項公式
，可得組合數的性質：
，
。
3．將 階楊輝三角形中去掉所有的偶數，剩下的圖形類似於分形幾何中的謝爾賓斯基三角形（如圖），這種三角形是研究自然界大量存在的不規則現象（海岸線性狀、大氣運動、海洋湍流、野生生物羣體漲落，乃至股市升降等）的嶄新教學工具。
4．教科書中的正六棱柱形木板滾球實驗說明楊輝三角與概率統計之間存在聯繫。講授時，老師應制作一個教具，並用16個小球。做實驗若干次，然後引導學生挖掘實驗結果與楊輝三角之間的關係，並用排列組合知識與概率知識加以解釋。
教學過程
1．用電腦展示8階楊輝三角圖，以備用上節課主要是研究楊輝三角橫行的數字規律，這節課首先來研究斜行的數字規律（如圖）。
2．學生分小組研究，得出的結果可能是：
（1）n階楊輝三角形的第k+1條斜邊上的數（從左到右，從上到下）組成的數列是： 。
（2）上述數列的和爲： 。
3．引導學生證明上述等式，並介紹有關朱世傑研究上述組合數恆等式的情況
（1）證明過程：
（2）朱世傑問題（如象招數問題）：以立方招兵，初招方面三尺，次招方面轉多一尺，…，今招十五日，…，問招兵…幾何？用數列語言來說就是：第k日招兵 ，共招n日，一共招兵多少？問題可轉化爲求和：
∵
∴
。
4．引導學生觀察8階楊輝三角表。研究圖中標出的斜行各數之間的關係
（1）將各斜邊的數字相加後按從上而下的順序列出：1，1，2，3，5，8，13，21，34。
（2）研究上述數列的規律後，可以猜測：無窮階楊輝三角類似的數列爲：
（3）引導學生將 表示成組合數的和，並證明 。
，
根據楊輝三角的基本性質3可以推出 。
（4）指出上述數列是斐波那契數列，該數列有廣泛應用。
5．觀察下圖15階楊輝三角中，各小正三角形內的數有什麼特點？並推廣到 階楊輝三角中
（1）（自上而下）第k個正三角形內的數都是偶數，即
都是偶數（k∈N*）。
（2）第k個正三角形兩腰外的第一條斜邊上的數都是奇數，即
都是奇數（k∈N*）。
這條性質和上節課推出的性質“第 行上的所有數中既有偶數也有非1的奇數”相吻合。
（3） 階楊輝三角中，偶數與奇數，哪個更多？
階楊輝三角中，共有 個奇數，共有 個偶數（k∈N*），試比較 與 的大小（留課外思考）。
6．演示實驗
教師或學生將16個均勻小球逐個平穩地放入如圖的教具內。統計最後各個矩形框內的小球個數。連續做三次實驗，分析統計結果；並將結果推廣到有n+1層的教具， 個小球的情形，並給出合理解析。
（1）設小球從第一層落入第n層下面的第k個矩形框的通道條數爲F（n，k），則根據教具的對稱性及小球的均勻性，可建立如下遞推模式：F（1，1）=1，F（n，k）=F（n，n-k+1），F（n+1，k）=F（n，k-1）+F（n，k），k=1，2，…，n+1，規定F（n，0）=F（n，n+1）=0（n∈N*）。
類比楊輝三角形的基本性質： 可猜測： 。（可以用數列方法證明結論爲真，留課後思考）
故在理想狀態下， 個小球從第一層落到第n層，從左到右各矩形框內的小球個數分別爲 。
（2）小球從某層落到下層可看作進行一次隨機試驗，其中小球向左邊落入的概率爲 。那麼小球從第一層落到第n+1層可以看成是進行n次獨立重複試驗，小球最後落入第k個矩形框內可以看成是小球從左邊落入恰好發生n-k+1次，其概率爲 。
在大量重複試驗下，統計規律爲： 個小球落到第n+1層的第k個矩形框內的小球個數爲 。
7．小結
楊輝三角奧祕無窮，只要大家從不同角度運用合情推理及邏輯推理的方法，一定會發現更多的規律，同時大家經常研究其他數學或生活實際問題，創造能力必將大大提高。有興趣瞭解更多楊輝三角的內容的同學，可查閱華羅庚先生著的《從楊輝三角談起》一書或上Internet網瀏覽。
佈置作業
1．是否存在常數a、b、c，使得等式
對一切正整數n都成立，並證明你的結淪。
2．將楊輝三角中的第n行第r個數換成 ，得到的三角形稱爲萊布尼茨三角形，這個三角形有些什麼特點？寫出一至兩個規律。