二項式定理公開課教案
（第一教時）
執教：盧明 2002年4月30日
一、教學目標
1、理解楊輝三角形。其行爲樣例是：（1）能用不完全歸納法寫出楊輝三角形；（2）能根據楊輝三角形對的二項式進行展開。
2、掌握二項式定理。其行爲樣例是：（1）能根據組合思想及不完全歸納法猜出二項展開式的係數 以及二項展開式的通項 ；(2)能正確區分二項式係數和某一項的係數；（3）能應用定理對任意給定的一個二項式進行展開、並求出它特定的項或係數。
二、教學重點與難點
1、重點：二項式定理的發現、理解和初步應用。
2、難點：二項式定理的發現。
（教具：多媒體課件）
三、教學過程
1、情景設置
問題1：若今天是星期一，再過30天后是星期幾？怎麼算？
預期回答：星期三，將問題轉化爲求“30被7除後算餘數”是多少。
問題2：若今天是星期一，再過 天后是星期幾？怎麼算？
預期回答：將問題轉化爲求“ 被7除後算餘數”是多少，也就是研究 的展開式是什麼？這就是本節課要學的內容，學完本課後，此題就不難求解了。
（設計意圖：使學生明確學習目的，用懸念來激發他們的學習動機。奧蘇貝爾認爲動機是學習的先決條件，而認知驅力，即學生渴望認知、理解和掌握知識，並能正確陳述問題、順利解決問題的傾向是學生學習的重要動力。）
2、新授
第一步：讓學生展開
；
；
教師將以上各展開式的係數整理成如下模型
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
問題1：請你找出以上數據上下行之間的規律。
預期回答：下一行中間的各個數分別等於上一行對應位置的相鄰兩數之和。
問題2：以 的展開式爲例，說出各項字母排列的規律；項數與乘方指數的關係；展開式第二項的係數與乘方指數的關係。
預期回答：①展開式每一項的次數按某一字母降冪排列、另一字母升冪排列，且兩個字母的和等於乘方指數；②展開式的項數比乘方指數多1項；③展開式中第二項的係數等於乘方指數。
初步歸納出下式：
（※）
（設計意圖：以上呈現給學生的由係數排成的“三角形”，起到了“先行組織者”的作用，雖然，教師將此“三角形”模型以定論的形式呈現給學生，但是，它畢竟不是最後的結果，而是一種尋找係數規律的有效工具，便於學生將新的學習材料同自己原有的認知結構聯繫起來，並納入到原有認知結構中而出現意義。這樣的學習是有意義的而不是機械的，是主動建構的而不是被動死記的心理過程。）
練習：展開
教師作階段性評價，告訴學生以上的係數表是我國宋代數學家楊輝的傑作，稱爲楊輝三角形，這項發明比歐洲人帕斯卡三角早400多年。你們今天做了與楊輝同樣的探索，以鼓勵學生探究的熱情，並激發作爲一名文明古國的後代的民族自豪感和愛國熱情。
第二步：繼續設疑
如何展開 以及 呢？
（設計意圖：讓學生感到僅掌握楊輝三角形是不夠的，激發學生繼續學習新的更簡捷的方法的慾望。）
繼續新授
師：爲了尋找規律，我們將 中第一個括號中的字母分別記成 ；第二個括號中的字母分別記成 ；依次類推。請再次用多項式乘法運算法則計算：
………
………
………
………
………
（設計意圖：上述呈現內容是爲了搭建“認知橋樑”，用以激活學生認知結構中已有的知識與經驗，便於學生進行類比學習，用已有的知識與經驗同化當前學習的新知識，並遷移到陌生的情境之中。）
問題1：以 項爲例，有幾種情況相乘均可得到 項？這裏的字母 各來自哪個括號？
問題2：既然以上的字母 分別來自4個不同的括號， 項的係數你能用組合數來表示嗎？
問題3：你能將問題2所述的意思改編成一個排列組合的命題嗎？
（預期答案： 有4個括號，每個括號中有兩個字母，一個是 、一個是 。每個括號只能取一個字母，任取兩個 、兩個 ，然後相乘，問不同的取法有幾種？）
問題4：請用類比的方法，求出二項展開式中的其它各項係數，並將式子：
括號中的係數全部用組合數的形式進行填寫。
呈現二項式定理——板書課題：
。
3、深化認識
請學生總結：
①二項式定理展開式的係數、指數、項數的特點是什麼？
②二項式定理展開式的結構特徵是什麼？哪一項最具有代表性？
由此，學生得出二項式定理、二項展開式、二項式係數、項的係數、二項展開式的通項等概念，這是本課的重點。
（設計意圖：教師用邊講邊問的形式，通過讓學生自己總結、發現規律，挖掘學習材料潛在的意義，從而使學習成爲有意義的學習。）
4、鞏固應用
【例1】展開① ②
【例2】①求 的展開式的第4項的係數及第4項的二項式係數。
②求 的展開式中含 項的係數。
變式：在二項式定理中，令 ，得到怎樣的公式？
思考： 爲什麼？
【例3】解決起始問題： ，
前面是7的倍數，因此餘數爲 ，故應該爲星期二。
說明：解決某些整除性問題是二項式定理又一方面應用。
四、課堂小結
①本節課我們主要學習了二項式的展開，有兩種方法，一是楊輝三角形，二是二項式定理，兩種方法各有千秋。
②二項式定理的表達式以及展開式的通項，
③要正確區別“項的係數”和“二項式係數”，
④將二項式定理中的字母賦上適當的值，就可以求一些特殊的組合多項式的值。
五、佈置作業（略）