杨辉三角（1）
目的要求
1．了解有关杨辉三角的简史，掌握杨辉三角的基本性质。
2．通过研究杨辉三角横行的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。
3．通过小组讨论，培养学生发现问题。探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神。
内容分析
本课的主要内容是总结杨辉三角的三个基本性质及研究发现杨辉三角横行的若干规律。
杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。
研究性课题，主要是针对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。目的在于培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供研究的问题及背景，让学生自主探究知识的发生发展过。从问题的提出、探索的过程及猜想的建立均主要由学生自主完成，教师不可代替，但作为组织者，可提供必要指导。
教师首先简介杨辉三角的相关历史，激发学生的民族自豪感和创造欲望，然后引导学生总结有关杨辉三角的基本知识（研究的基础）及介绍发现数字规律的主要方法（研究的策略），并类比数列的通项及求和，让学生对n阶杨辉三角进行初步的研究尝试活动，让学生充分展开思维进入研究状态。
以下主要分小组合作研究杨辉三角的横行数字规律，重点发现规律，不必在课堂上证明。
教学过程
（一）回顾旧知
1．用电脑展示贾宪三角图、朱泄杰的古法七乘方图、帕斯卡三角图（附后），同时播放用古代民族乐器演奏的音乐。
教师介绍杨辉三角的简史：北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1961年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。
2．用电脑展示15阶杨辉三角或事先印好15阶杨辉三角分发给学生。对照杨辉三角，回顾高二下学期学过的杨辉三角的构造及基本性质，并由学生叙述。
1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式展开式的系数列 。
2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即 。
3°结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，即 。
（二）分组研究杨辉三角横行规律（将全班学生按前后排四或五人一组分成若干研究小组）
1．介绍数学发现的方法：杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律。古今中外，许多数学家如贾宪、杨辉、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过，并将研究结果应用于其他工作。他们研究的方法可以归纳为：
15阶杨辉三角
2．学生尝试探索活动。
（1）n阶杨辉三角中共有多少个数？
（2）n阶杨辉三角的通项公式是什么？即n阶杨辉三角中的第k行第r个数是什么？
（3）n阶杨辉三角的第k行各数的和是多少？所有数的和是多少？
学生独立思考后，由学生发言，得出结论。n阶杨辉三角中共有 个数， 第n+2行第3个数；通项公式为 ， ， 。
3．按研究横行数字规律的方向开展研究工作，工作的重点是发现规律。教师巡视指导，必要时可参与某小组的讨论活动。最后由小组代表陈述研究结果及建立猜想的大致思路。
（1）杨辉三角的第2k行中第k个数最大；即 ；第2k＋1行中第是k个数与第k＋l个数相等且最大，即 ；2k阶杨辉三角中最大数为 ，2k＋1阶杨辉三角中的最大数为
。
（2）杨辉三角中第 行的所有数都是奇数（k∈N*），即 为奇数（m=0，1，…， ）；第 行的所有数（除两端的1以外）都是偶数（k∈N*），即 为偶数（r=1，2，…， ）；其他行的所有数中，一定既有偶数又有除1以外的奇数。
（3）第p（p为素数）行除去两端的数字1以外的所有数都能被p整除，其逆命题也成立。即对任意r∈{1，2，…，n-1}，都有 是素数。
（4）将第n行的所有数按从左到右的顺序合并在一起得到的多位数等于 。
（5）第2n行的第n个数是第2n-1行的第n-1个数的2倍，即。 。
……
（三）小结
（1）请学生小结自己在研究过程中的体验：如何选定研究线索，使用什么方法发现结论，碰到什么困难，如何突破创新等。
（2）教师规范对杨辉三角各性质的表述，小结探究思路。
布置作业
如图，每一幅小图中的圆的个数及圆上的点、线段、三角形、四边形、五边形、六边形的数目有一定的变化规律，研究杨辉三角，你能找出两者间的关系吗？
附（1）：证明：当 时， 是奇数。
证明：对任何一个正整数m，都存在唯一的自然数 与正奇数 ，使 。设 ， ，…， ，…。
当 时，
∵上式的分子、分母都是奇数，且分式值是正整数，
∴ 是奇数。
附（2）：
杨辉三角（2）
目的要求
1．探索杨辉三角斜行的数字规律，并应用规律求一类数列的前n项和；
2．探索杨辉三角与其他数学对象之间的联系，培养学生应用数学知识方法的能力。
内容分析
本节课的主要内容是继续研究杨辉三角的数字规律及其与其他数学问题之间的联系。
1．从研究平行于杨辉三角形“两腰”的斜边上的数字规律的过程中，我们可以发现朱世杰恒等式： 。这个规律其实是杨辉三角第三条基本性质 的推广形式。应用朱世杰恒等式，可以求出 的和式值。
2．研究经过两数 ，或 的斜边上的数字规律，可以得到著名的斐波那契数列 。由斐波那契数列的通项公式
，可得组合数的性质：
，
。
3．将 阶杨辉三角形中去掉所有的偶数，剩下的图形类似于分形几何中的谢尔宾斯基三角形（如图），这种三角形是研究自然界大量存在的不规则现象（海岸线性状、大气运动、海洋湍流、野生生物群体涨落，乃至股市升降等）的崭新教学工具。
4．教科书中的正六棱柱形木板滚球实验说明杨辉三角与概率统计之间存在联系。讲授时，老师应制作一个教具，并用16个小球。做实验若干次，然后引导学生挖掘实验结果与杨辉三角之间的关系，并用排列组合知识与概率知识加以解释。
教学过程
1．用电脑展示8阶杨辉三角图，以备用上节课主要是研究杨辉三角横行的数字规律，这节课首先来研究斜行的数字规律（如图）。
2．学生分小组研究，得出的结果可能是：
（1）n阶杨辉三角形的第k+1条斜边上的数（从左到右，从上到下）组成的数列是： 。
（2）上述数列的和为： 。
3．引导学生证明上述等式，并介绍有关朱世杰研究上述组合数恒等式的情况
（1）证明过程：
（2）朱世杰问题（如象招数问题）：以立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，…，今招十五日，…，问招兵…几何？用数列语言来说就是：第k日招兵 ，共招n日，一共招兵多少？问题可转化为求和：
∵
∴
。
4．引导学生观察8阶杨辉三角表。研究图中标出的斜行各数之间的关系
（1）将各斜边的数字相加后按从上而下的顺序列出：1，1，2，3，5，8，13，21，34。
（2）研究上述数列的规律后，可以猜测：无穷阶杨辉三角类似的数列为：
（3）引导学生将 表示成组合数的和，并证明 。
，
根据杨辉三角的基本性质3可以推出 。
（4）指出上述数列是斐波那契数列，该数列有广泛应用。
5．观察下图15阶杨辉三角中，各小正三角形内的数有什么特点？并推广到 阶杨辉三角中
（1）（自上而下）第k个正三角形内的数都是偶数，即
都是偶数（k∈N*）。
（2）第k个正三角形两腰外的第一条斜边上的数都是奇数，即
都是奇数（k∈N*）。
这条性质和上节课推出的性质“第 行上的所有数中既有偶数也有非1的奇数”相吻合。
（3） 阶杨辉三角中，偶数与奇数，哪个更多？
阶杨辉三角中，共有 个奇数，共有 个偶数（k∈N*），试比较 与 的大小（留课外思考）。
6．演示实验
教师或学生将16个均匀小球逐个平稳地放入如图的教具内。统计最后各个矩形框内的小球个数。连续做三次实验，分析统计结果；并将结果推广到有n+1层的教具， 个小球的情形，并给出合理解析。
（1）设小球从第一层落入第n层下面的第k个矩形框的通道条数为F（n，k），则根据教具的对称性及小球的均匀性，可建立如下递推模式：F（1，1）=1，F（n，k）=F（n，n-k+1），F（n+1，k）=F（n，k-1）+F（n，k），k=1，2，…，n+1，规定F（n，0）=F（n，n+1）=0（n∈N*）。
类比杨辉三角形的基本性质： 可猜测： 。（可以用数列方法证明结论为真，留课后思考）
故在理想状态下， 个小球从第一层落到第n层，从左到右各矩形框内的小球个数分别为 。
（2）小球从某层落到下层可看作进行一次随机试验，其中小球向左边落入的概率为 。那么小球从第一层落到第n+1层可以看成是进行n次独立重复试验，小球最后落入第k个矩形框内可以看成是小球从左边落入恰好发生n-k+1次，其概率为 。
在大量重复试验下，统计规律为： 个小球落到第n+1层的第k个矩形框内的小球个数为 。
7．小结
杨辉三角奥秘无穷，只要大家从不同角度运用合情推理及逻辑推理的方法，一定会发现更多的规律，同时大家经常研究其他数学或生活实际问题，创造能力必将大大提高。有兴趣了解更多杨辉三角的内容的同学，可查阅华罗庚先生著的《从杨辉三角谈起》一书或上Internet网浏览。
布置作业
1．是否存在常数a、b、c，使得等式
对一切正整数n都成立，并证明你的结沦。
2．将杨辉三角中的第n行第r个数换成 ，得到的三角形称为莱布尼茨三角形，这个三角形有些什么特点？写出一至两个规律。