算法導論學習筆記（四） 初稿

5.1 僱用問題

• 平均運行時間：所有可能輸入分佈取平均值的運行時間
• 期望時間：隨機算法的運行時間
• 當概率分佈是在算法的輸入上時，討論平均運行時間，當算法本身做出隨機選擇時，討論期望運行時間

5.2 指示器隨機變量

個人感覺與獨立重複試驗類似

1. 核心：將問題分解爲子問題

2. 應聘者問題的指示器隨機變量解法
   

   E[X]=∑x=1nxP{X=x}=∑i=1nE[xi]=∑i=1n1/i=lnn+O(1)

3. 關於例題

   • 帽子覈對問題
     對於每個顧客，拿到自己的帽子的概率爲1/n ，故其數學期望爲∑ni=11/n=1

   • 逆序對問題
     對於每一組數的組合，都有一半的概率爲逆序，故其數學期望爲C2n⋅12=n(n−1)/4

5.3 隨機算法

1. 含義
   讓分佈固定，而通過特定算法實現隨機化。

2. 隨機排列數組

   • PERMUTE-BY-SROTING

     • 即爲每一個數組元素隨機分配一個rank值，並以rank重新排列這些元素。
     • 通過條件概率可證明每種分配的可能均爲1/n!
     • 通過5.3-4可知，對於每個元素A[i]，排在任一位置的概率均爲1/n，並非是證明均勻隨機排列的充分條件

   • RANDOMIZE-IN-PLACE

     • 即對於每個元素，都與它後面（包含自身）的元素相交換。

     • 證明

       • 初始化：初始化賦值i=2（涉及討論i=1的空數組，故先顯式交換一次），即對於每個1排列，長度爲1的子數組包含這種排列的概率爲 (n−1)!/n!=1/n ，第一次循環迭代前循環不變式成立。

       • 保持：假設i次迭代前每種(i-1)排列出現概率爲(n−i+1)!/n! ，則第i次迭代後，概率爲1n−i+1⋅(n−i+1)!n!

       • 終止：終止時，i=n+1，子數組任一排列概率爲1/n!

5.4 特徵序列

• 問題：拋一枚標準硬幣n次，求最長連續正面的數學期望

• 思路： 類似夾逼準則

• 證明過程：

  • O(lgn)

    • 設連續擲硬幣k次，k=2lgn。

    • 起始於某一位置，長度**大於等於**k的序列至多有n-k+1個，故開始於任一位置的概率總和小於等於
      

      ∑i=1n−k+11/2k≤∑i=1n−k+11/n2<∑i=1n1/n2=1/n

    • 由定義知
      

      E[L]=∑j=0njP{Lj}=∑j=0k−1jP{Lj}+∑j=knjP{Lj}
      
      其中j爲長度的具體值。

    • 顯然，當j較大時P{Lj} 較小，當P{Lj} 較大時j較小，故
      

      E[L]<∑j=0k−1kP{Lj}+∑j=knnP{Lj}<k∑j=0k−1P{Lj}+1
      
      又因爲∑k−1j=0P{Lj}<1 ，原式小於O(k)=O(lgn)

  • Ω(lgn)

    • 把n次投擲劃分爲n/s組，每組擲s次，s取lgn/2。

    • 顯然任一一組，結果爲同一面（假設爲正面）概率爲
      

      1/2s=1/n√

    • 故每組都不是同一面概率爲
      

      (1−1/n√)n/s−1≤e(n/s−1)/n√=O(e−lgn=O(1/n))

    • 對j值較小的部分，其值忽略不計，因此
      

      ∑j=0njP{Lj}≥∑j=snjP{Lj}≥s∑j=snP{Lj}≥s(1−O(n))=Ω(lgn)

• 結論：特徵序列長爲lgn。

• 指示器隨機變量的近似結果：n−k+12k ，且帶入k=lgn時值近似符合要求。

5.5 在線僱傭問題

• 問題：只僱傭一次應聘者，並且每次應聘必須決定是否僱傭這個人。

• 實現思路：選擇一個正整數k，面試並拒絕前k個應聘者，並僱傭後面第一個分數比前k個應聘者中分最高者還高的人，若沒有則僱傭最後一個人。問題轉化爲尋找k的最優值。

• 過程：

  • 令P{Si} 表示應聘者爲第i時面試成功的概率，Bi 表示最佳面試者爲第i人的概率，M(j) 表示前1~j人中的最高分，Oi 表示從k+1到i-1的應聘者都小於M(k) 的概率。

  • 顯然
    

    P{S}=∑i=k+1nP{Si}
    
    
    P{Bi}=1/n
    
    
    P{Oi}=k/(i−1)
    
    
    P{Si}=P{Bi}⋅P{Oi}

  • 解得 P{S}=kn(lnn−lnk)

  • 求導，得k=n/e