多面集的方向的性質

多面集的方向的性質

引理

設向量 X,β,d⃗ ∈V,$X,\beta ,\overrightarrow{d}\in V,$
1. X≥β,$X\ge \beta ,$ 則 ∀k∈R,k≥0,X+kd⃗ ≥β⇔d⃗ ≥0⃗ $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\ge 0,X+k\overrightarrow{d}\ge \beta \iff \overrightarrow{d}\ge \overrightarrow{0}$
2. X≤β,$X\le \beta ,$ 則 ∀k∈R,k≥0,X+kd⃗ ≤β⇔d⃗ ≤0⃗ $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\ge 0,X+k\overrightarrow{d}\le \beta \iff \overrightarrow{d}\le \overrightarrow{0}$
3. X=β,$X=\beta ,$ 則 ∀k∈R,k≥0,X+kd⃗ =β⇔d⃗ =0⃗ $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\ge 0,X+k\overrightarrow{d}=\beta \iff \overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$

證明

1. 
   1.1 ⇐:$\Leftarrow :$
   d⃗ ≥0⃗ ,$\overrightarrow{d}\ge \overrightarrow{0},$ 因此 ∀k∈R,k≥0,X+kd⃗ ≥X≥β$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\ge 0,X+k\overrightarrow{d}\ge X\ge \beta$
   1.2 ⇒:$\Rightarrow :$
   用反證法證明 d⃗ ≥0⃗ $\overrightarrow{d}\ge \overrightarrow{0}$ ：
   若 d⃗ ≱0⃗ ,$\overrightarrow{d}\ngeqq \overrightarrow{0},$ 不妨設 d⃗ =⎛⎝⎜⎜d1⋮dn⎞⎠⎟⎟,$\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}{d}_1\\ ⋮\\ d_n\end{array}\right),$ 則 ∃i∈N,1≤i≤n,$\mathrm{\exists }i\in \mathbb{N},1\le i\le n,$ 使得 di<0,$d_i<0,$ 於是
   ∃k=−|xi|+|βi|+1di≥0,$\mathrm{\exists }k=-{\displaystyle \frac{|x_i|+|{\beta }_i|+1}{d_i}}\ge 0,$ 使得 xi+kdi=xi−(|xi|+|βi|+1)≤−|βi|−1<−|βi|≤βi$x_i+k{d}_i=x_i-(|x_i|+|{\beta }_i|+1)\le -|{\beta }_i|-1<-|{\beta }_i|\le {\beta }_i$
   於是 X+kd⃗ ≱β⃗ ,$X+k\overrightarrow{d}\ngeqq \overrightarrow{\beta },$ 與 X+kd⃗ ≥β⃗ $X+k\overrightarrow{d}\ge \overrightarrow{\beta }$ 矛盾。
   2.
   2.1 ⇐:$\Leftarrow :$
   d⃗ ≤0⃗ ,$\overrightarrow{d}\le \overrightarrow{0},$ 因此 ∀k∈R,k≤0,X+kd⃗ ≤X≤β$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\le 0,X+k\overrightarrow{d}\le X\le \beta$
   2.2 ⇒:$\Rightarrow :$
   用反證法證明 d⃗ ≤0⃗ $\overrightarrow{d}\le \overrightarrow{0}$ ：
   若 d⃗ ≰0⃗ ,$\overrightarrow{d}\nleqq \overrightarrow{0},$ 不妨設 d⃗ =⎛⎝⎜⎜d1⋮dn⎞⎠⎟⎟,$\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}{d}_1\\ ⋮\\ d_n\end{array}\right),$ 則 ∃i∈N,1≤i≤n,$\mathrm{\exists }i\in \mathbb{N},1\le i\le n,$ 使得 di>0,$d_i>0,$ 於是
   ∃k=|xi|+|βi|+1di≥0,$\mathrm{\exists }k={\displaystyle \frac{|x_i|+|{\beta }_i|+1}{d_i}}\ge 0,$ 使得 xi+kdi=xi+(|xi|+|βi|+1)≥|βi|+1>|βi|≥βi$x_i+k{d}_i=x_i+(|x_i|+|{\beta }_i|+1)\ge |{\beta }_i|+1>|{\beta }_i|\ge {\beta }_i$
   於是 X+kd⃗ ≰β⃗ ,$X+k\overrightarrow{d}\nleqq \overrightarrow{\beta },$ 與 X+kd⃗ ≤β⃗ $X+k\overrightarrow{d}\le \overrightarrow{\beta }$ 矛盾。
   3.
   X+kd⃗ =β⇔X+kd⃗ ≤β∧X+kd⃗ ≥β$X+k\overrightarrow{d}=\beta \iff X+k\overrightarrow{d}\le \beta \wedge X+k\overrightarrow{d}\ge \beta$
   由 1，2 可得
   ∀k∈R,k≥0,β+kd⃗ =β$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\ge 0,\beta +k\overrightarrow{d}=\beta$
   ⇔∀k∈R,k≥0,X+kd⃗ ≤β∧∀k∈R,k≥0,X+kd⃗ ≥β⇔d⃗ ≤0⃗ ∧d⃗ ≥0⃗ ⇔d⃗ =0⃗ $\iff \mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\ge 0,X+k\overrightarrow{d}\le \beta \wedge \mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\ge 0,X+k\overrightarrow{d}\ge \beta \iff \overrightarrow{d}\le \overrightarrow{0}\wedge \overrightarrow{d}\ge \overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$

命題

設多面集
S1={X∈Rn∣AX≥β,X≥0⃗ },$S_1=\{X\in {\mathbb{R}}^n\mid AX\ge \beta ,X\ge \overrightarrow{0}\},$
S2={X∈Rn∣AX≤β,X≥0⃗ },$S_2=\{X\in {\mathbb{R}}^n\mid AX\le \beta ,X\ge \overrightarrow{0}\},$
S3={X∈Rn∣AX=β,X≥0⃗ },$S_3=\{X\in {\mathbb{R}}^n\mid AX=\beta ,X\ge \overrightarrow{0}\},$
爲非空集合，其中 A∈Rm×n,β∈Rm$A\in {\mathbb{R}}^{m\times n},\beta \in {\mathbb{R}}^m$ ，則對於任意一個向量 d⃗ ∈Rn,d⃗ ≠0⃗ ,$\overrightarrow{d}\in {\mathbb{R}}^n,\overrightarrow{d}\ne \overrightarrow{0},$ ：
1. d⃗ $\overrightarrow{d}$ 爲 S1$S_1$ 的一個方向 ⇔Ad⃗ ≥0⃗ $\iff A\overrightarrow{d}\ge \overrightarrow{0}$ 且 d⃗ ≥0⃗ $\overrightarrow{d}\ge \overrightarrow{0}$
2. d⃗ $\overrightarrow{d}$ 爲 S2$S_2$ 的一個方向 ⇔Ad⃗ ≤0⃗ $\iff A\overrightarrow{d}\le \overrightarrow{0}$ 且 d⃗ ≥0⃗ $\overrightarrow{d}\ge \overrightarrow{0}$
3. d⃗ $\overrightarrow{d}$ 爲 S3$S_3$ 的一個方向 ⇔Ad⃗ =0⃗ $\iff A\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$ 且 d⃗ ≥0⃗ $\overrightarrow{d}\ge \overrightarrow{0}$

證明

∀X∈S1,AX≥β,X≥0⃗ ,$\mathrm{\forall }X\in S_1,AX\ge \beta ,X\ge \overrightarrow{0},$
∀X∈S2,AX≤β,X≥0⃗ ,$\mathrm{\forall }X\in S_2,AX\le \beta ,X\ge \overrightarrow{0},$
∀X∈S3,AX=β,X≥0⃗ ,$\mathrm{\forall }X\in S_3,AX=\beta ,X\ge \overrightarrow{0},$
∀k∈R,k≥0,A(X+kd⃗ )=AX+kAd⃗ ,$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\ge 0,A(X+k\overrightarrow{d})=AX+kA\overrightarrow{d},$
於是由引理，對於任意一個向量 d⃗ ∈Rn,d⃗ ≠0⃗ ,$\overrightarrow{d}\in {\mathbb{R}}^n,\overrightarrow{d}\ne \overrightarrow{0},$
1. d⃗ $\overrightarrow{d}$ 爲 S1$S_1$ 的一個方向
⇔∀X∈S1,∀k∈R,k≥0,X+kd⃗ ∈S1$\iff \mathrm{\forall }X\in S_1,\mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\ge 0,X+k\overrightarrow{d}\in S_1$
⇔∀X∈S1,∀k∈R,k≥0,AX+kAd⃗ ≥β$\iff \mathrm{\forall }X\in S_1,\mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\ge 0,AX+kA\overrightarrow{d}\ge \beta$ 且 X+kd⃗ ≥0⃗ $X+k\overrightarrow{d}\ge \overrightarrow{0}$
⇔∀X∈S1,∀k∈R,k≥0,Ad⃗ ≥0⃗ $\iff \mathrm{\forall }X\in S_1,\mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\ge 0,A\overrightarrow{d}\ge \overrightarrow{0}$ 且 d⃗ ≥0⃗ $\overrightarrow{d}\ge \overrightarrow{0}$
2. d⃗ $\overrightarrow{d}$ 爲 S2$S_2$ 的一個方向
⇔∀X∈S2,∀k∈R,k≥0,X+kd⃗ ∈S2$\iff \mathrm{\forall }X\in S_2,\mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\ge 0,X+k\overrightarrow{d}\in S_2$
⇔∀X∈S2,∀k∈R,k≥0,X+kd⃗ ≥0⃗ $\iff \mathrm{\forall }X\in S_2,\mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\ge 0,X+k\overrightarrow{d}\ge \overrightarrow{0}$ 且 AX+kAd⃗ ≤β$AX+kA\overrightarrow{d}\le \beta$ 且 X+kd⃗ ≥0⃗ $X+k\overrightarrow{d}\ge \overrightarrow{0}$
⇔∀X∈S2,∀k∈R,k≥0,Ad⃗ ≤0⃗ $\iff \mathrm{\forall }X\in S_2,\mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\ge 0,A\overrightarrow{d}\le \overrightarrow{0}$ 且 d⃗ ≥0⃗ $\overrightarrow{d}\ge \overrightarrow{0}$
3. d⃗ $\overrightarrow{d}$ 爲 S3$S_3$ 的一個方向
⇔∀X∈S3,∀k∈R,k≥0,X+kd⃗ ∈S3$\iff \mathrm{\forall }X\in S_3,\mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\ge 0,X+k\overrightarrow{d}\in S_3$
⇔∀X∈S3,∀k∈R,k≥0,β+kAd⃗ =β$\iff \mathrm{\forall }X\in S_3,\mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\ge 0,\beta +kA\overrightarrow{d}=\beta$ 且 X+kd⃗ ≥0⃗ $X+k\overrightarrow{d}\ge \overrightarrow{0}$
⇔∀X∈S3,∀k∈R,k≥0,Ad⃗ =0⃗ $\iff \mathrm{\forall }X\in S_3,\mathrm{\forall }k\in \mathbb{R},k\ge 0,A\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$ 且 d⃗ ≥0⃗ $\overrightarrow{d}\ge \overrightarrow{0}$