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[3D基礎]理解計算機3D圖形學中的座標系變換
要談座標系變換，那麼座標系有哪些呢？依次有:物體座標系，世界座標系，相機座標系，投影座標系以及屏幕座標系.我要討論的就是這些座標系間的轉換。
這些座標系不是憑空而來，他們都是爲了完成計算機3D圖形學最最最基本的目標而出現.
計算機3D圖形學最最最基本的目標就是:將構建好的3D物體顯示在2D屏幕座標上.
初看好像就是將最初的物體座標系轉換到屏幕座標系就可以了呀，爲什麼多出了世界座標系,相機座標系，投影座標 系。這是因爲:在一個大世界裏有多個物體，而每個物體都有自己的座標系，如何表述這些物體間相對的關係，這個多出了世界座標系；如果只需要看到這個世界其 中一部分，這裏就多出了相機座標系；至於投影座標系那是因爲直接將3D座標轉換爲屏幕座標是非常複雜的(因爲它們不僅維度不同,度量不同（屏幕座標一般都 是像素爲單位,3D空間中我們可以現實世界的米，釐米爲單位），XY的方向也不同，在2D空間時還要進行座標系變換),所以先將3D座標降維到2D座標,
然後2D座標轉換到屏幕座標。
理解3D圖形學的第一步:理解左手座標系與右手座標系
爲什麼會有左手座標系與右手座標系之分？
在3D空間(沒錯！就是3D)中，所有2D座標系是等價的（就是通過一系列的仿射變換，可以互相轉換）
而3D座標系不是等價的，通過仿射變換，是無法將左手座標系轉換到右手座標系；也就是說，物體座標系用的就是左手座標系，世界座標系用的是右手 座標系，那麼物體可能就是不會是我們所希望的樣子了，可能是倒立的，也可能是背對着我們的，所以我們要區分左手座標系與右手座標系。也許在4D空間，左右 手座標系就可以互相變換了吧。
進入正題吧:
首先討論的是物體座標系->世界座標系
前面說了爲了描述多個物體間相對的關係，這裏引進了世界座標系,所以世界座標系是個參考座標系。
這一步的目的將所有的物體的點都轉移到世界座標系，這裏主要涉及的是旋轉，縮放，平移等。
不過我將詳細說明爲何及如何用矩陣來描述這些變換。
例:如果有兩個座標系C與C`, C`是C繞Z軸旋轉θ得到的。下面是各座標軸的變換：
注：此處Cz'的縱座標應爲1
如果是C座標系的點P（x, y, z），而在C`的表示就是
注：此處Z’軸座標應爲z，爲作者筆誤，且C‘是C繞Z軸順時針方向旋轉
這時該如何建立矩陣呢? 答案就是區分你用的是行向量還是列向量.也許有人會問爲什麼不區分是左手座標系還是右手座標系呢？因爲C可以變換到C`,那麼他們一定是同在左手座標系或右手座標系,變換只能在可以互相轉換的座標系之間進行。
如果你用的是行向量：由於行向量只能左乘矩陣(注意乘與乘以的區別)
所以矩陣形式應該是這樣
只有這樣，在左乘矩陣時才能得到上面P`的形式。
如果你用的是列向量: 由於列向量只能右乘矩陣(注意乘與乘以的區別)
所以矩陣形式應該是這樣
只有這樣，在右乘矩陣時才能得到上面P`的形式。
至於如何旋轉，縮放，平移我不在多說。
…………………………………
我們再討論世界座標系->相機座標系
引進相機的目的就是隻需看到世界的一部分，而哪些是可以在相機裏看到的，就需要進行篩選。將物體轉換到相機座標系，這樣相機座標系進行篩選時就會簡單很多。這裏的重點是構建相機座標系。
物體座標系，世界座標系是美工在繪製時就定義好了的。而相機座標系是需要程序實時構建的。（當然這是通常情況下，如果你要建立一個世界，這個世界都是圍繞 你轉，要實時改變所有物體座標系，固定相機座標系（其實這時候相機座標系就是世界座標系），建立一個地心說的世界，我也沒辦法，你的思維也太不一樣了。）
如何構建相機座標系呢？首先我們要明確目標：我們是要構建3D座標系(好像是廢話)，三個座標軸要互相垂直(也好像是廢話).
我們一般用UVN相機。例如:D3D的D3DXMatrixLookAtLH，D3DXMatrixLookAtRH，OGL的gluLookAt(右手座標系).
如何建立呢UVN相機呢? 我們就要利用叉積這個工具了：兩個不平行，不重疊的向量的叉積可以得到與這兩個向量互相垂直的向量。
如果有了相機的位置與目標的位置那麼我們可以確定一個Z軸（有人問爲什麼是Z軸，因爲物體的遠與近我們就習慣用Z值來表示的）。求Z軸時要注意 是左手座標系還是右手座標系，左右手座標系XY軸方向相同時，Z軸的方向相反。所以左手座標系是目標位置減去相機位置，而右手座標系則是相機位置減去目標 位置。記得normalize
這是我們要得到X與Y軸了。如何求X，Y軸呢？
一般方法是：
1、選擇一個臨時Y軸，
2、對臨時Y 與Z 軸進行叉積求得一個X軸
3、X軸再與Z軸進行叉積，得到一個Y軸。
有了XYZ就可以求出旋轉的相機矩陣了。
如何選擇一個Y軸呢？大多數情況下是（0，1，0），但是如果是相機位置E與目標位置T垂直,即（E-T=（0，+/-1，0）時），這時就不能用(0,1,0)了， 因爲兩個平行向量的叉積是零向量，所以我們就要另選一個Y軸。
但是我覺得我們可以改變方法。
如果不能選Y軸，我們就選擇一個臨時X軸，這個臨時Ｘ軸就是（1，0，0）。
然後再對臨時X軸與Z軸進行叉積求得一個Y軸。
最後Y軸再與Z軸進行叉積，得到X軸。
這樣可以得到XYZ軸。
最後再根據行向量與列向量建立相機矩陣，再進行平移。
相機座標系->投影座標系 .
投影的目的就是：降維.
兩種投影方式：正交投影與透視投影.
在我們TEAM中易穎已經寫了，我就不多說了，大家去看他的文章。
投影座標系->屏幕座標系
這是最簡單的。2D座標變換。也不多說。
轉載文章2：http://www.xingousi.com/computer/computergraphics.htm
計算機圖形學透視投影變換原理及一點和兩點透視
一、平行互分法
吳英凡所寫的《透視作圖的新方法——交點法體系》，其中談到的平行互分法，還是有道理的。
其實簡單點說，就是透視圖上的兩條“原來空間中的平行線”（在畫面上透視投影爲相交於滅點），通過其中一條透視投影直線的端點畫另一條透視投影直線的平行線，必平行於畫面；這第三條線在畫面的透視投影的滅點必然在另一條透視投影線上。
二、透視投影變換學習總結
1、用多維數列表示低維空間座標,加深理解齊次座標表示法。
齊次座標表示法可以方便地運算，同時形狀不變。[x,y,z,0]表示一個無窮的點。
2、透視投影變換公式可以看成兩個矩陣的乘積，其中一個做透視變換，另外一個作正投影
保留的z'值的確切含義：指的是在完全作完透視投影變換之前，僅作透視投影之後的一條線.
它的幾何意義見李建平《計算機圖形學原理教程》第44頁。
3、左手和右手座標系的座標轉換
“視點座標系與一般的物體所在的世界座標系不同，它遵循左手法則，即左手大拇指指向Z正軸，與之垂直的四個手指指向X正軸，四指彎曲90度的方向是Y正軸。而世界座標系遵循右手法則的。”
4、視點座標系的透視變換公式很重要！！王飛著計算機圖形學書65頁
5、z'值的確切含義：指的是在完全作完透視投影變換之前，僅作透視投影之後的一條線
三、兩點透視的變換矩陣：
王飛編著《計算機圖形學基礎》的道理是：
從平面圖形的平移、旋轉、錯切開始推導，兩點透視的變換矩陣可以看成是：
物體本身有一個物體座標系——xw,yw,zw，視點作爲原點又構成一個視點座標系——xe，ye，ze，物體座標系z軸朝上，y軸朝向遠處；而視點座標系y軸朝上，z軸朝向遠處。
這樣，最終的二點透視狀態可以這樣取得，首先把物體的位置的物體座標系表示法轉化爲視點座標系的表示法（第一個矩陣），然後圍繞視點座標系的y軸旋轉（第二個矩陣），然後在x，y，z方向上平移（第三個矩陣），最後做透視變換（第四個矩陣），它的原文是把平移放在第二步，我在平移之前轉動，目的是保證了物體旋轉的軸在離它不遠的地方：
我使用的矩陣變換如下，原文是是把平移放在第二步：
[xw,yw,zw,1]* 
*
*
*
最後所得結果是一個新的矩陣，
[xe ye ze 1]=[cos
*xw-sin *yw+l
zw+m 2sin *xw+2cos *yw+2n-d
(sin *xw+cos*yw+n）/d]
把最後一項變成1，可得
=[(cos *xw-sin *yw+l)*d/(sin *xw+cos *yw+n
(zw+m)*d/(sin *xw+cos *yw+n)
（2sin*xw+2cos *yw+2n-d）*d/(sin *xw+cos *yw+n)
1 ]
即：
Xe= (cos *xw-sin *yw+l)*d/(sin *xw+cos *yw+n)
Ye=(zw+m)*d/(sin *xw+cos *yw+n)
Ze=(2sin *xw+2cos *yw+2*n-d)*d/(sin *xw+cos *yw+n)
實際上我的delphi程序裏面是這樣的：
xe:=trunc((cos(angle)*eee[ii][k].X-sin(angle)*eee[ii][k].Y+l)*d/(sin(angle)*eee[ii][k].X+cos(angle)*eee[ii][k].Y+n));
ye:=trunc((hhh[ii][k]+m)*d/(sin(angle)*eee[ii][k].X+cos(angle)*eee[ii][k].Y+n)); //透視變換
//ze可以考慮使用作爲消隱
Ze:=trunc((2*sin(angle)*xw+2*cos(angle)*yw+2*n-d)*d/(sin(angle)*xw+cos(angle)*yw+n));
四、通過變換過的兩點透視的結果xe,ye，zw和 *，反求原來的物體座標xw,yw
即：xe,ye，zw和 已知，求出xw,yw
根據：
Xe= (cos *xw-sin *yw+l)*d/(sin *xw+cos *yw+n)
（1）
Ye=(zw+m)*d/(sin *xw+cos *yw+n)
（2）
Ze=（2sin *xw+2cos *yw+2n-d）*d/(sin *xw+cos *yw+n)
（3）
（1）除以（2）得
Xe/Ye= (cos *xw-sin *yw+l)/
(zw+m)
(Xe*(zw+m))/Ye=cos *xw-sin *yw+l
(Xe*(zw+m))/(Ye* cos )=xw-tan *yw+l/cos
Xw=(Xe*(zw+m))/ (Ye* cos ) - (ye*l)/(Ye* cos )+(
sin *yw*ye)/ (Ye* cos )
Xw=(Xe*(zw+m)+ sin *yw*ye- ye*l)/ (Ye* cos )
(4)
由（2）得
Ye*(sin *xw+cos *yw+n)=
(zw+m)*d
Ye*(sin *xw)+ye* cos *yw+n*ye=(zw+m)*d
把（4）代入上式得
Ye* sin *( Xe* (zw+m)+
sin *yw*ye- ye*l)/ (Ye* cos ) +ye*
cos *yw+n*ye=(zw+m)*d
約去ye，得
sin *( Xe* (zw+m)+
sin *yw*ye- ye*l)/ cos +ye*
cos *yw+n*ye=(zw+m)*d
tan *( Xe* zw+xe*m+
sin *yw*ye- ye*l) +ye* cos *yw+n*ye=(zw+m)*d
tan * Xe* zw+xe*m * tan -
ye*l* tan + sin * tan *yw *ye +ye*
cos *yw+n*ye=(zw+m)*d
(sin * tan *ye +ye*
cos )*yw+ tan * Xe* zw +xe*m * tan -
ye*l* tan +n*ye=(zw+m)*d
最後得
Yw=[(zw+m)*d- tan * Xe* zw- xe*m * tan +
ye*l* tan - n*ye]/ (sin * tan *ye +ye*
cos ) （5）
而前面已經得到
Xw=(Xe*(zw+m)+ sin *yw*ye- ye*l)/ (Ye* cos )
(4)
實際上相當於opengl裏面的逆變換，從鼠標選中的屏幕位置來確定對應的三維空間中位置，opengl使用gluUnProject和gluUnProject4來計算。