一個和圓內接多邊形有關的命題

某月某日的時候和蔡神在熊熊烈日下進行某實驗的時候，本來在刷單詞的窩看到了一個帖子，裏面有一個有趣的問題，但卻一時間沒能解決這個問題：

給定圓內接凸n 邊形，且n 個角均相同，求證當n 爲奇數時爲正多邊形，若爲偶數時，不一定爲正多邊形。

說實話這是一個好問題，今天午覺起來想到了一個思路，本來想着又圓內接又正多邊形是不是可以用複數上會比較拉風，後來發現實際上並沒有這麼複雜，科科。

若n 爲奇數那麼一定爲正多邊形

首先考慮每個角的大小，若n=3 時命題顯然成立，若4≤n 時，由於任意凸n 邊形的內角和π⋅(n−2) ，那麼由題意，每個角的都是鈍角：

angle=π⋅(n−2)n=π⋅(1−2n)>π/2

那麼考察如下圖形，不妨設n 邊形的n 個頂點爲A1,A2,...An ,

那麼對於△A1A2A3 和△A4A2A3 ，注意到這兩個三角形是全等的，全等條件是SSA，一般情況下SSA的全等條件是不滿足的，只有在鈍角三角形的時候纔會滿足。正好，我們已經證明了他們都是鈍角三角形，於是有A1A2=A3A4 ，同理我們有：

AK+1AK+2=AK+3AK+4

i.e.假設這n 條邊分別稱爲1,2,3,…n 的話，那麼有1=3=5=…=2k+1=…，顯然若n 爲偶數，那麼1=3=5=…=2k+1=…將會循環，若爲奇數則1=3=5=…=2k+1=…n=2=4=…,故所有邊均相等，命題得證。

若n 爲偶數那麼不一定爲正多邊形

下面將對偶數情況進行構造，以8邊形爲例，首先如圖所示，構造

正四邊形（黑色），分別同向（此處爲順時針）方向構造四條長度相等線段（如紅色線所示），連接所有端點，容易證明所構造的8邊形爲各內角相同，且不爲正8邊形。類似地，對2k 邊形，先構造正k 邊形，然後同樣地構造k 條同向等距線段，最後將各端點相連即可。