DTOJ 4653. 「CSP-S 2019」树上的数

题意

给定一个大小为 $n$ 的树，它共有 $n$ 个结点与 $n − 1$ 条边，结点从 $1 \sim n$ 编号。初始时每个结点上都有一个 $1 \sim n$ 的数字，且每个 $1 \sim n$ 的数字都只在恰好一个结点上出现。

接下来你需要进行恰好 $n − 1$ 次删边操作，每次操作你需要选一条未被删去的边，此时这条边所连接的两个结点上的数字将会交换，然后这条边将被删去。

$n − 1$ 次操作过后，所有的边都将被删去。此时，按数字从小到大的顺序，将数字 $1 \sim n$ 所在的结点编号依次排列，就得到一个结点编号的排列 $P_i$。现在请你求出，在最优操作方案下能得到的字典序最小的 $P_i$。

如上图，蓝圈中的数字 $1 \sim 5$ 一开始分别在结点 ②、①、③、⑤、④。按照 (1)(4)(3)(2) 的顺序删去所有边，树变为下图。按数字顺序得到的结点编号排列为 ①③④②⑤，该排列是所有可能的结果中字典序最小的。

数据范围：

测试点编号	$n\le $	特殊性质
$1\sim 2$	$10$	无
$3\sim 4$	$160$	树的形态是一条链
$5\sim 7$	$2\times 10^3$	树的形态是一条链
$8\sim 9$	$160$	存在度数为 $n − 1$ 的结点
$10\sim 12$	$2\times 10^3$	存在度数为 $n − 1$ 的结点
$13\sim 16$	$160$	无
$17\sim 20$	$2\times 10^3$	无

对于所有测试点：$1 \le T \le 10$，保证给出的是一个树。

题解

吐槽：

几个月后再回过头来看这道考场上完全自闭的题，没看题解按自己新的想法写了半天过了。其实思路非常自然，完全没有之前想象的神仙。虽然确实有一定细节需要耗费较多时间（指以我的垃圾思考力），但至少链和菊花图的分都比较好拿，也不知道当时在干什么。

可能还是临场心态的问题吧，当时想着18年人均AK的D1，然后一开始没什么想法就真的很绝望，于是在自闭中结束了考试。现在想来还是好可惜啊，按照这个思路在考试还剩2.5h的情况下至少能多拿链+菊花图的50pts吧（一开始试验了链的代码只有1.5k，菊花图应该更好写）。之前考场的心态一直不太对，总想着能拿多少分，会不会被别人区分掉。其实真正的目标应该考出自己应有的实力，不要留下遗憾吧。这样就算没考好，也能够问心无愧地说一句技不如人，而不是重新审视这场考试再来后悔莫及。

希望省选，不要带着遗憾退役，毕竟OI生涯至今并没有任何一场自己满意的考试（也没考过几次就是了）。

正话：
显然按位考虑每个数，尽量使它放到编号最小的点上。问题在于如何判断一个数是否可以从$u$号点出发恰好走到$v$号点：将这个转化到边的排列顺序的限制上（因为限制就在于每条边恰好用一次），画图可知等价于对于经过的一系列边，每相邻两条在相交的点的所有边中的顺序是相邻的，且在$u$上的边一定是u的边中最先取的，同理在v的是最后，容易感性认知 证明其充分必要性。
于是用标记数组存每条边在两个端点上是否有相邻的限制。同时，在一个点的连边中的相邻限制关系还不能构成环，用并查集维护一下即可。特殊地，还要考虑一个点的一条边是最先/最后取的情况，如果最先和最后取的边在同一并查集上，那么这个并查集必须包含这个点的所有边。直接做是$O(n^{3})$的，预处理当前的点能到达哪些节点，即可做到$O(n^{2})$。
（我是真的弱智吧，考场上怎么能没有想法啊？？？）