DTOJ 4697. 格

題意

有一個 $n$ 行 $m$ 列的矩陣，初始所有位置的權值都爲 $0$.

開始時，你在格子 $(x,y)$ 上。

每天早上，每個格子裏的權值都會增加 $1$.

每天下午，你可以留在當前格子，或瞬移到上下左右相鄰格子中的一個。

每天晚上，你會獲得當前格子裏的權值，然後清空當前格。

求第 $k$ 天晚上後，你所獲權值的最大值。

子任務一 ($20$pts)，$n=1$.

子任務二 ($20$pts)，$n=2$.

子任務三 ($20$pts)，$2|n$.

子任務四 ($40$pts)，無特殊限制.

對所有的數據，$T\le 10^5,\, 1\le n,m\le 10^9,\,1\le x\le n,\,1\le y\le m,\,1\le k\le 10^{18}$.

題解

沒有貪心、構造能力的我測試的時候想自閉了。
首先是一個顯然而重要的轉化：獲得的價值等於經過每個格子的最晚時間，所以答案的上界一定是$(k-nm+1)+...+k$（沒往這裏想一直在亂畫肯定做不出來啊）。
這樣就比較可想了，只要最後$nm$步能把圖走完即可達到上界。如果$n$或$m$爲偶數，那麼一定存在哈密頓迴路，按回路走即可。否則，如果是都是奇數，考慮能否走完。由於和奇偶有關，考慮黑白染色：把和爲奇數的染成黑色，偶數爲白色，這樣黑色比白色少$1$，要走完所有格子必須從白色出發，且一定能走完（不把自己堵死就好）。如果$k>=nm$，在第一步跳到和爲偶數的點上；否則直接走$nm-1$步。
但對於$n=1$或$m=1$的情況需要特殊考慮：如果$k$很大可以走遍所有格子，就到最後再走；否則考慮儘量逼近上界，先往一個方向走幾步在走到另一邊的盡頭即可。