圖的度序列

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問題描述：

給定一個非負整數序列，若存在一個無向圖使得圖中各點的度與此序列一一對應，則稱此序列可圖化。進一步，若圖爲簡單圖，則稱此序列可簡單圖化。那麼什麼樣的序列纔是成圖序列呢？

分析：

首先,給出定義:

定義1：如果V(G)={v1，v2,v3,...,vp};則稱非負整數序列(d(v1),d(v2),d(v3),...,d(vp))爲圖G的度序列.

(定義中的圖指廣義的圖,含有多重邊或環).

定義2：簡單圖的度序列成爲圖序列.

以下是圖論書上的定理及推論:

定理1（握手定理）：對於每個圖G=(V,E),均有∑d(v)(v屬於V)=2*q(G),(q(G)爲圖的邊數).

推論1：任何圖中,奇點的個數爲偶數.

推論2：非負整數序列(d1,d2,...,dp)是某個圖的度序列,則所有度之和∑(di)(1<=i<=n)是偶數.

可簡單圖化的判定（Havel定理）：

把序列排成不增序，即d1>=d2>=……>=dn，則d可簡單圖化當且僅當d’={d2-1，d3-1，……d(d1+1)-1， d(d1+2)，d(d1+3)，……dn}可簡單圖化。簡單的說，把d排序後，找出度最大的點（設度爲d1），把它與度次大的d1個點之間連邊，然後這個點就可以不管了，一直繼續這個過程，直到建出完整的圖，或出現負度等明顯不合理的情況。

證明請看：http://journals.cambridge.org/download.php?file=%2FBAZ%2FBAZ33_01%2FS0004972700002872a.pdf&code=2cca4625499f37e69a01ec5fab104dcd

其證明其實很簡單，思想就是圖的子圖也一定是圖，拆一個點後，它依然是圖，直到拆完，圖才消失。和證明正定矩陣和數學歸納法很像。

Havel算法的思想簡單的說如下：
(1)對序列從大到小進行排序。
(2)設最大的度數爲t,把最大的度數置0,然後把最大度數後(不包括自己)的t個度數分別減1(意思就是把度數最大的點與後幾個點進行連接)
(3)如果序列中出現了負數,證明無法構成。如果序列全部變爲0,證明能構成,跳出循環.前兩點不出現，就跳回第一步！

這裏舉個例子：

假設一個度序列（已經是非遞增順序排序）3,3,3,3,2

1.由於最大的是3，則從第2個開始，後面3個的值都要減去1，同時第1個值置0，即得0,2,2,2,2

2.重新排序後爲2,2,2,2,0。最大的爲2，則從第2個開始，後面2個的值都要減去1，同時第1個值置0，即0,1,1,2,0

3.重新排序後爲2,1,1,0,0。最大的爲2，則從2個開始，後面的2個值都要減去1，同時第1個值置0，即0,0,0,0,0，全部的值已經爲0，即可以成圖

實際上，我們可以繪這樣圖

又假設一個度序列（已經是非遞增順序排序）4,4,3,2,1

按照上面的方法，可以得到如下序列

0,3,2,1,0-----3,2,1,0,0

0,1,0,-1,0，出現負數，則不能成圖

C程序代碼如下：

int cmp(const void *a, const void *b)
{
     return(*(int *)b-*(int *)a);//非遞增排序
}

bool havel(int p[],int len)
{
	qsort(p,len,sizeof(p[0]),cmp);
	if(p[0]==0)//如果最大值爲0，則說明沒有負數，且已經遞歸完成
		return true;
	for (int i=1;i<=p[0];i++)
	{
		p[i]-=1;
		if(p[i]<0)//有負數，就直接退出即可，減小計算量
			return false;
	}
	p[0]=0;
	if(!havel(p,len))//遞歸
		return false;
	return true;
}

這裏需要加入頭文件#include<stdlib.h>

其它結論：

1.在至少含有兩個頂點的簡單圖中，一定有兩個頂點的度相同。

證明：

條件：有孤立點時，除去孤立點，即圖中所有度至少爲1。此時設頂點數爲n

根據簡單圖的定義可以知道，一個點的度至多有n-1，即在1~n-1之間取值，但有n個點，根據抽屜原理或鴿籠原理可以知道，至少有兩個點的度是相同的。

根據這個結論，我們很容易判斷,5,4,3,2,1是不可成圖的。