概念
離散化（Discretization），把無限空間中有限的個體映射到有限的空間中去，以此提高算法的時空效率。通俗的說，離散化是在不改變數據相對大小的條件下，對數據進行相應的縮小。例如：
- 原數據：1, 999, 100000, 15；處理後：1,3,4,2。
- 原數據：{100, 200}，{20, 50000}，{1, 400}；處理後：{3,4}，{2,6}，{1,5}。
有的時候，我們會發現對於一個序列，它的值域很大，對應算法的複雜度是 Θ(值域) 的。離散化是程序設計中一個常用的技巧，它可以有效的降低時間複雜度。其基本思想就是在衆多可能的情況中，只考慮需要用的值。離散化可以改進一個低效的算法，甚至實現根本不可能實現的算法。例如，在建造線段樹空間不夠的情況下，可以考慮離散化。
離散化的原理和實現都很簡單。爲了確保不出錯且儘可能地提高效率，我們希望離散化能實現以下幾種功能：
1、保證離散化後的數據非負且儘可能的小
2、離散化後各數據項之間的大小關係不變，原本相等的也要保持相等。
由此，找出數據項在原序列中從小到大排第幾就是離散化的關鍵。可以通過下面的方法以 O(n logn) 的時間複雜度完成離散化，n 爲序列長度。
離散化一共有兩種方法，方法一重複元素離散化後的數字相同，方法二重複元素離散化後的數字不相同。用的最多的是方法一。
方法一：重複元素離散化後的數字相同
例如：對於序列 [105，35，35，79，-7]，排序並去重後變爲 [-7，35，79，105]，由此就得到了對應關係 -7->1, 35->2, 79->3, 105->4。
基本的步驟可以分爲：
1、用一個輔助的數組把你要離散的所有數據存下來。
2、排序，排序是爲了後面的二分。
3、去重，因爲我們要保證相同的元素離散化後數字相同。
4、索引，再用二分把離散化後的數字放回原數組。
對應的代碼如下：
#include<algorithm> // 頭文件
const int MAXN = 1e6+4;
//n 原數組大小 num 原數組中的元素 lsh 離散化的數組 cnt 離散化後的數組大小
int lsh[MAXN], cnt, num[MAXN], n;
for (int i=1; i<=n; i++) {
scanf("%d",&num[i]);
lsh[i] = num[i];
}
sort(lsh+1 , lsh+n+1);//排序
cnt = unique(lsh+1, lsh+n+1) - lsh - 1;//去重
//二分查找
for(int i=1; i<=n; i++) {
num[i] = lower_bound(lsh+1 , lsh+cnt+1 , num[i]) - lsh;
}
在這段代碼中，num[] 經過離散，範圍就變成了 m。
數據解析
比如，這組數據：
1,23424,242,65466,242,0
排序後得到：
0,1,242,242,23424,65466
然後會去重，得到：
0,1,242,23424,65466
然後離散化的到：
1,3,2,4,2,0
注意事項
1、去重並不是把數組中的元素刪去，而是重複的部分元素在數組末尾，去重之後數組的大小要減一。
2、二分的時候，注意二分的區間範圍，一定是離散化後的區間。
3、如果需要多個數組同時離散化，那就把這些數組中的數都用數組存下來。
方法二：重複元素離散化後的數字不相同
例如：對於序列 [105，35，35，79，-7]，排序後變爲 [-7，35，35，79，105]，由此就得到了對應關係 -7->1，35->2，35->3，79->4，105->4。
基本的步驟可以分爲：
1、用一個輔助的數組把你要離散的所有數據存下來。
2、排序。
3、枚舉着放回原數組。
對應的代碼如下：
#include<algorithm>
struct Node {
int data , id;
bool operator < (const Node &a) const {
return data < a.data;
}
};
const int MAXN = 1e5+4;
Node num[MAXN];//原數組
int rank[MAXN];//離散化後數組
int n;
for (int i=1; i<=n; i++) {
scanf("%d",&num[i].data);
num[i].id = i;
}
sort(num+1 , num+n+1);
for (int i=1; i<=n; i++) {
rank[num[i].id] = i;
}
這種方法複雜度比上面那一種要優，但不能處理重複元素。它直接用結構體存儲原本的數列的元素的位置，然後排序以後將他們再重新賦值。那麼 rank[] 就是結構體 num[] 離散化後的結果。
數據解析
原始數據：
data: 3 6 5 10 8
id : 1 2 3 4 5
排序以後：
data: 3 5 6 8 10
id: 1 3 2 5 4
離散化以後：
data: 3 5 6 8 10
id: 1 3 2 5 4
rank: 1 2 3 4 5
再按原來的順序排列：
data: 3 6 5 10 8
rank: 1 3 2 5 4
習題
模板題
洛谷 P1955，程序自動分析，https://www.luogu.com.cn/problem/P1955。
洛谷 P1667，數列，https://www.luogu.com.cn/problem/P1667。
VOJ 1056，圖形面積，https://vijos.org/p/1056。