題目：MOSEK二次規劃函數quadprog錯誤: ERROR - (quadprog): H is not a square matrix of dimension length(f)
本篇需要如下基礎：
(1)使用Matlab二次規劃quadprog函數：參見《二次規劃問題和MATLAB函數quadprog的使用》，鏈接：https://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/50598641
(2)在Matlab中安裝使用Mosek軟件：參見《MOSEK優化包的安裝、使用及註冊：以Matlab中的二次規劃爲例》，鏈接：https://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/101384191
最近需要求解一個不含一次項的二次規劃問題，即min 0.5*x'*H*x, 約束條件爲部分變量不小於1，部分變量不大於-1，其餘的變量無約束。由於變量x的維度較高，Matlab自帶的quadprog函數求解起來比較慢，因此打算調用Mosek求解，但卻不能使用。後來發現是個很簡單的設置問題，記錄在此。
接下來，爲了說明問題，在Matlab中隨機生成了一個類似的二次規劃問題，變量個數爲1000，二次項矩陣H隨機生成，約束條件爲前25%變量不小於1，後25%變量不大於-1，中間50%變量無約束。約束條件採用了兩種實現方式，任選一種即可。
(1)使用Matlab自帶的quadprog求解：
clear all;close all;clc;
%% create QP problem
%控制隨機數生成,保證每次產生的數據集相同
%舊版本Matlab的rand('seed', 0)等價於新版本Matlab的rng(0,'v4')
%舊版本Matlab的rand('state', 0)等價於新版本Matlab的rng(0,'v5uniform')
%本版本程序在MATLAB R2016a編寫,同時支持兩種寫法,但諸如Matlab R2009b僅支持舊版本寫法
rand('state', 0);%rng(0,'v5uniform');
rng(0,'v5uniform');
n = 1000;
H = rand(n);
H = H'*H;%Hesse matrix
%constraints: 前25%變量不小於1, 後25%變量不大於-1, 中間50%變量無約束
% (1)inequalities constraints
c = [ones(round(n*0.25),1);zeros(round(n*0.5),1);-ones(round(n*0.25),1)];
A = sparse(diag(c));
A = -A(c~=0,:);
b = -ones(sum(c~=0),1);
% (2)lower/upper bounds
lb = [ones(round(n*0.25),1);-inf*ones(round(n*0.75),1)];
ub = [inf*ones(round(n*0.75),1);-ones(round(n*0.25),1)];
%Matlab built-in quadprog solver
opts = optimoptions('quadprog','Display','off');
tic;clock_s=clock;
x_matlab_inequ = quadprog(H,[],A,b,[],[],[],[],[],opts);
toc;clock_f=clock;time_matlab_inequ=etime(clock_f,clock_s);
%Matlab built-in quadprog solver
opts = optimoptions('quadprog','Display','off');
tic;clock_s=clock;
x_matlab_bound = quadprog(H,[],[],[],[],[],lb,ub,[],opts);
toc;clock_f=clock;time_matlab_bound=etime(clock_f,clock_s);
命令行窗口顯示如下：
時間已過 4.587010 秒。
時間已過 4.363230 秒。
(2)使用Mosek的quadprog求解：
%Mosek test
clear all;close all;clc;
%% create QP problem
%控制隨機數生成,保證每次產生的數據集相同
%舊版本Matlab的rand('seed', 0)等價於新版本Matlab的rng(0,'v4')
%舊版本Matlab的rand('state', 0)等價於新版本Matlab的rng(0,'v5uniform')
%本版本程序在MATLAB R2016a編寫,同時支持兩種寫法,但諸如Matlab R2009b僅支持舊版本寫法
rand('state', 0);%rng(0,'v5uniform');
rng(0,'v5uniform');
n = 1000;
H = rand(n);
H = H'*H;%Hesse matrix
%constraints: 前25%變量不小於1, 後25%變量不大於-1, 中間50%變量無約束
% (1)inequalities constraints
c = [ones(round(n*0.25),1);zeros(round(n*0.5),1);-ones(round(n*0.25),1)];
A = sparse(diag(c));
A = -A(c~=0,:);
b = -ones(sum(c~=0),1);
% (2)lower/upper bounds
lb = [ones(round(n*0.25),1);-inf*ones(round(n*0.75),1)];
ub = [inf*ones(round(n*0.75),1);-ones(round(n*0.25),1)];
%Mosek quadprog solver
mosek_path = 'C:\Program Files\Mosek\8\toolbox\r2014a\';
addpath(mosek_path);
tic;clock_s=clock;
x_mosek_inequ = quadprog(H,[],A,b);
toc;clock_f=clock;time_mosek_inequ=etime(clock_f,clock_s);
rmpath(mosek_path);
%Mosek quadprog solver
mosek_path = 'C:\Program Files\Mosek\8\toolbox\r2014a\';
addpath(mosek_path);
tic;clock_s=clock;
x_mosek_bound = quadprog(H,[],[],[],[],[],lb,ub);
toc;clock_f=clock;time_mosek_bound=etime(clock_f,clock_s);
rmpath(mosek_path);
但命令行窗口會顯示如下：
ERROR - (quadprog): H is not a square matrix of dimension length(f)
時間已過 0.071813 秒。
ERROR - (quadprog): H is not a square matrix of dimension length(f)
時間已過 0.023629 秒。
說明使用Mosek出錯了。
正如之前所說，Mosek的quadprog函數並不如Matlab自帶的quadprog函數穩定，可能是因數Mosek並非直接求解二次規劃問題的，而是求解其它等價問題，或許Mosek不能求解不包含一次項的二次規劃問題吧……
琢磨之後忽然明白：由於沒有一次項，默認將一次項係數設置爲“[]”，但實際上此時的一次項係數應該是0而非沒有，因此將一次項係數設置爲長爲n的零向量zeros(n,1)。Matlab自帶的quadprog比Mosek的要魯棒，因此可以正常運行，但Mosek則兼容性差一些。修改後再使用Mosek進行測試：
%Mosek test
clear all;close all;clc;
%% create QP problem
%控制隨機數生成,保證每次產生的數據集相同
%舊版本Matlab的rand('seed', 0)等價於新版本Matlab的rng(0,'v4')
%舊版本Matlab的rand('state', 0)等價於新版本Matlab的rng(0,'v5uniform')
%本版本程序在MATLAB R2016a編寫,同時支持兩種寫法,但諸如Matlab R2009b僅支持舊版本寫法
rand('state', 0);%rng(0,'v5uniform');
rng(0,'v5uniform');
n = 1000;
H = rand(n);
H = H'*H;%Hesse matrix
%constraints: 前25%變量不小於1, 後25%變量不大於-1, 中間50%變量無約束
% (1)inequalities constraints
c = [ones(round(n*0.25),1);zeros(round(n*0.5),1);-ones(round(n*0.25),1)];
A = sparse(diag(c));
A = -A(c~=0,:);
b = -ones(sum(c~=0),1);
% (2)lower/upper bounds
lb = [ones(round(n*0.25),1);-inf*ones(round(n*0.75),1)];
ub = [inf*ones(round(n*0.75),1);-ones(round(n*0.25),1)];
%Mosek quadprog solver
mosek_path = 'C:\Program Files\Mosek\8\toolbox\r2014a\';
addpath(mosek_path);
tic;clock_s=clock;
x_mosek_inequ = quadprog(H,zeros(n,1),A,b);
toc;clock_f=clock;time_mosek_inequ=etime(clock_f,clock_s);
rmpath(mosek_path);
%Mosek quadprog solver
mosek_path = 'C:\Program Files\Mosek\8\toolbox\r2014a\';
addpath(mosek_path);
tic;clock_s=clock;
x_mosek_bound = quadprog(H,zeros(n,1),[],[],[],[],lb,ub);
toc;clock_f=clock;time_mosek_bound=etime(clock_f,clock_s);
rmpath(mosek_path);
此時命令行窗口顯示如下：
時間已過 1.266149 秒。
時間已過 1.299889 秒。
說明此時Mosek可以求解該二次規劃問題。
其實錯誤信息“ERROR - (quadprog): H is not a square matrix of dimension length(f)”說得很清楚，H不是一個與f的維度相同的方陣；而在Matlab中，求解的二次規劃問題是min 0.5*x'*H*x + f'*x，習慣使用H表示二次項的Hesse矩陣，使用f表示一次項的係數向量，所以該錯誤信息就表明二次項的矩陣和一次項的向量維度不匹配。
另外，從求解這個問題中也可以看出，Mosek的效率要比Matlab自帶的quadprog高，而且此時n=1000，如果將n改爲10000，則求解的時間相差就非常懸殊了。但很奇怪的是，具體到我個人的問題上（規模大概在10000左右），二者卻相差不大，可能是我的問題中特殊的H所致吧。
還有，兩種約束的表示方法也會對求解產生影響，雖然它們表達的意思是一樣的；當然，兩種約束表示方法得到的結果是相同的。