1 等式約束優化問題
等式約束問題如下：
求解方法包括：消元法、拉格朗日乘子法。
1、消元法
通過等式約束條件消去一個變量，得到其他變量關於該變量的表達式代入目標函數，轉化爲無約束的極值求解問題，具體過程如下：
得到無約束的極值問題即可通過：一階導數=0求駐點，Hession矩陣判定極值點。
2、拉格朗日乘子法
消元法大部分情況下很難適用，比如等式約束爲高次耦合非線性，難以消去其中一個變量。拉格朗日乘子法適用於多維、高次、非線性約束方程。
拉格朗日乘子法（二維問題）：
三個方程三個未知數，聯立該方程即可求解最優的
拉格朗日乘子法（多維問題）：
得到的方程組，方程個數與未知變量個數相同，可以求解得出。
2 不等式約束優化問題與KKT條件
求解思路是對非線性約束條件引入鬆弛變量，轉化爲等式約束，二維問題如下：
注意，引入鬆弛變量
多維問題如下：
引入鬆弛變量的作用是爲了將不等式約束轉化爲等式約束，原理是：鬆弛變量是等高線負值，將不等式約束的取值面改爲等式約束的取值曲線，但要滿足不等式約束條件。
KKT條件：上述方法問題在於求解出來的解可能不滿足原不等式約束條件，即解落於參數區域外。下面介紹通用的KKT條件：
KKT條件給出了不等式約束條件的優化問題，存在極值點的必要條件，即通過判定該條件來判定解是否存在，並利用KKT條件求解極值。必要條件如下：
KKT條件證明：
KKT條件應用說明：
3 拉格朗日乘子法證明
如果極值點存在，則極值點滿足目標函數在約束曲線的切線方向方向導數爲0，如下：
爲什麼？因爲方向導數代表了曲面梯度在曲線切向方向的分量，梯度是曲面在該點上升的方向，如果曲面梯度與曲線切線向量乘積不爲0，即梯度與曲線切線不垂直，則在該曲線上，沿着負梯度方向走，必然能找見更小的點。
同時易得：極值點滿足約束函數再約束曲線切線方向的導數爲0（二維函數），如下：
則對比上述兩個方程切線矢量的係數可以得到：
4 KKT計算實例
對於如下非線性規劃問題：
