橢圓曲線的確很複雜，涉及理論知識較多，尤其是數學知識太多太多，無法一窺全貌，經過理解，我覺得最需要理解的就是，那條經典的橢圓曲線有什麼神祕之處，優勢如何實現非對稱密碼加密的，如果覺得有用，請給個簡短評論，我心歡喜。
橢圓曲線
橢圓曲線就是下圖那樣的一個對稱曲線，一點都不像橢圓啊！這個主要源於名稱來自於橢圓曲線積分，而這個積分主要是因爲通過積分計算橢圓邊長而得名。所以通過代數（可理解爲多項式）定義的橢圓曲線積分函數就是橢圓曲線。我們來看動圖理解橢圓曲線：
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上圖就是漂亮的橢圓曲線，基於X軸對稱，在曲線上面有A，B兩點，可以任意取，做一條直線，一定會與曲線相交於另外一點，做Y軸平行的垂線到另一邊，得到點C。這個運算過程就是基於橢圓曲線定義的加法運算，而且在數學上可以保證A+B=C一定成立（如何確保需要不少數學知識）。咱們拓展一下，如果A，B相同，那麼一個點就沒法畫線了，那麼聰明的數學家把該點的切線（光滑曲線一定有切線）定義爲P點，如果A，B等於P，那麼A+B=2P=C，這樣就定義了在曲線上的乘法，還包括其他…定義，就構建了一個高大上的名字—羣（高階數學啊）。有了2P的定義，就可以定義3P,4P…nP了，這樣就在曲線上形成了無數個離散的點，如下圖一樣。
上圖看起來這些點壓根就不像曲線啊，的確不像，那是因爲對曲線上的點進行模運算（%運算符），這樣在這個空間中，都是曲線上的點取模後繪製的，他們同樣滿足曲線上定義的規律。
如同在曲線上做的那樣，這些點通過繪製直線，仍然可以依然找到A+B=C的點（注意經過邊緣後，會對摺到下邊（模運算），到了最右邊會對摺到最左邊），而且這些點分佈完全沒有規律（除了基於X軸對稱）。如果把A，B看作是2P，那麼給定P點，和數字2，可以很容易找到C點，反過來，知道P點和C點，需要找到C=2P是很難的，可以通過窮舉法暴力破解的。這就是加密的核心了，給定一個祕密，驗證很容易，破解很複雜。給定一個數字n（這個需要在橢圓曲線中有定義），計算nP=C，就是加密過程了。
未來後續理解橢圓曲線，數學家們是定義的橢圓曲線：E(p,a,b,G,n,h), 這是一個多元組，這裏的p就是定義這個曲線的大小，p越大，這個曲線覆蓋面積就越大，窮舉難度也越大，a,b定義了橢圓曲線的多項式係數，這個在算法選定的時候就確定下來了。G表示生產元（複雜的概念），簡單理解就是曲線上的一個點G，例如（3,10）通過這個點G定義1G, 2G, 3P…nP的一個序列構成的集合，n越大，點集合越大。h是協因子，一般等於1，確保生成元G的點遠遠少於橢圓曲線定義的所有點數，這樣窮舉法成功的概率就接近於零了。另外，橢圓曲線有着比RSA算法在同樣位數加密下具有更好的加密性能。
橢圓曲線的加密
從上節我們知道橢圓曲線定義一個算法P = nG, 通過n可以很容易計算P，知道G，P很難猜測n，這樣就構成了加密基礎。本節我們看看如何通過這樣一個特性，科學家們如何定義非對稱加密的。
首先大家基於同樣的橢圓曲線參數進行加密通訊，雙方都知道：E(p,a,b,G,n,h)。Alice隨機選擇一個數ra, 要求小於n, 計算Pa = ra * G，發送給Bob.
Bob同樣隨機選擇一個數rb, 要求小於n，計算Pb = rb * G，發送給Alice.
這樣Alice和Bob的隨機數ra, rb相當於私鑰，公開給對方的Pa, Pb相當於公鑰。此時，Alice如果需要給Bob發送加密信息，就可以用Bob的公鑰加密，Bob可以用自己的私鑰進行解密，計算過程如下：
Alice選擇另一個隨機數k, 把需要加密的內容Pm(就是需要把原文編碼到橢圓曲線定義的空間中)，計算出祕文Cm = {k*G, Pm + k * Pb}，這裏Pb是Bob的公鑰，祕文由2個點構成。Bob收到祕文後進行如下計算：
Pm + k * Pb - rb * (k * G) = Pm + k * rb * G - rb * k * G = Pm
這個公式稍微解釋一下：Bob從網絡中接受到Pm + k * Pb的結果，k * G的結果，並有着自己的私鑰rb， 因此計算出Pm.
從而得到原文點Pm.
另外一個用處就是實現密鑰協商，比如https的ECDHE算法密鑰協商：
Alice通過計算得出協商祕鑰：Ka = ra * Pb
Bob通過計算得出協商密鑰：Kb = rb * Pa
可以通過簡單計算得到Ka = Kb:
Ka = ra * Pb = ra * (rb * G) = rb * (ra * G) = rb * Pa = Kb
神奇吧！非對稱密鑰是基於數學規律構建的方法。希望通過本文，可以讓你對橢圓曲線加密有一個簡單的理解。