相機標定原理

1.單目標定

單應矩陣

設三維空間點的齊次座標,對應的圖像座標爲

他們滿足一下關係：

s爲尺度因子，K爲內參矩陣 R和T旋轉平移矩陣統稱爲外參

假設我們提供K個棋盤圖像，每個棋盤有N個角點，於是我們擁有2KN個約束方程。與此同時，忽略畸變的情況下，我們就需要求解4個內參和6K個外參（內參只於相機內部參數有關，外參卻隨目標點位置變化而變化），也就是說，只有當2KN>=4+6K的時候，也即K(N-3)>=2時，才能求出內外參矩陣。同時，無論在一張棋盤上檢測到多少角點，由於棋盤上角點的規則佈置使得真正能利用上的角點只有4個（在四個方向上可延展成不同的矩形），於是有當N=4時,K(4-3)>=2，即K>=2，也就是說，我們至少需要兩張棋盤在不同方位的圖像才能求解出無畸變條件下的內參和外參。

因此，我們定義相機標定的單應性矩陣（從物體平面到成像平面）爲:

先將H化爲H=[h1 h2 h3]，再分解方程可得：

因爲旋轉向量在構造中是相互正交的，即r1和r2相互正交，由此我們就可以利用“正交”的兩個含義，得出每個單應性矩陣（也即每個棋盤方位圖像）提供的兩個約束條件：

旋轉向量點積爲0（兩垂直平面上的旋轉向量互相垂直）：

替換和並化簡可得：

旋轉向量長度相等（旋轉不改變尺度）：

替換掉r1和r2可得：

設:

則可將兩個約束條件轉化爲：

由上式可知，兩約束中的單項式均可寫爲

的形式，同時易知B爲對稱矩陣，真正有用的元素只有6個（主對角線任意一側的6個元素）。於是可展開爲如下形式： 

由此，兩約束條件可等價爲：

前面的討論我們已經知道，棋盤圖像數目滿足就可求出內外參數，此時b有解，於是由內參數B的封閉解和b的對應關係即可求解出內參數矩陣中的各個元素（具體形式這裏不給出）。得到內參數後，可繼續求得外參數：

其中又由旋轉矩陣性質有

則可得:

 

 

參考：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/24651968