TMC2009 Cell Breathing Techniques for Load Balancing in Wireless LANs 論文閱讀筆記

引用：Bejerano Y, Han S J. Cell breathing techniques for load balancing in wireless LANs[J]. IEEE Transactions on Mobile Computing, 2009, 8(6): 735-749.
這是一篇發表在網絡A刊上的文章，目的是通過一種類似於小區呼吸的方案解決WLAN上的負載均衡問題。谷歌引用目前273

本博客首先對相關知識點進行介紹，然後對論文整體內容進行概括性介紹，最後面附上本人的翻譯

知識點：

1. RSSI：received signal strength indicator，接收的信號強度指示，
   通過接收到的信號強弱測定信號點與接收點的距離，進而根據相應數據進行定位計算的一種定位技術
2. 大小負載均衡網絡：一個WLAN不可能在沒有增加其他APs負載的情況下降低自己的負載，他就是一個大小負載均衡網絡

內容總結

目標是最大化網絡吞吐的同時實現公平性，本文核心思想是通過減小擁塞AP的小區大小來降低負載，其明顯優勢是不需要修改用戶側也不用修改無線標準，唯有的要求是需要有一個NOC能獲得每個AP的用戶連接數和負載，且AP能隨時改變beacon消息發送的功率。
802.11默認的用戶連接AP的方式是最強信號連接，未提供任何解決負載不均問題的方案。
1. 研究和產業界方案：
度量：RSSI、關聯用戶數、關聯用戶的平均RSSI、新連接到這個AP上的用戶當前可以獲得的帶寬等
實現要求：用戶側安裝軟件或硬件WLAN卡，AP側修改或修改802.11標準

2. 相關研究內容
（1）小區呼吸及其擴展方案——改變邊界間接改變連接
小區呼吸：基站→用戶使用導頻信號，不會受用戶量改變而改變，用戶→基站的信號則會因爲用戶量增加邊緣處信噪比不足。這使得兩個方向的覆蓋面積不同，因此通過修改基站發射的導頻信號的功率來收縮擁塞小區
數控分離：直接降低傳輸功率影響整個信道質量，同時降低了需要切換的用戶和繼續連接這個AP的用戶傳輸質量，增加非擁塞AP的功率而非降低擁塞AP功率似乎更好。一般數控分離，只改變beacon傳輸就能改變小區面積
更新觸發：一旦連接，引起斷連的只能是數據傳輸信號的降低，反應不夠敏捷。因此可短暫降低擁塞AP數據功率或向一部分用戶發送斷連請求
WLAN面積比小區小很多，以前的小區呼吸相關算法應用性能不夠
（2）最大最小負載均衡算法——直接控制用戶與AP連接
可以看作不相關並行機器調度問題，即對給定作業和機器找到最短處理時間，給出每個作業運行的機器和時間。而實現這個問題的公平性是更困難的事情
此類問題可分爲作業在不同機器上運行時間相同和不同兩種問題
但這些方法都需要對作業-機器匹配進行完全控制，這對連接控制算法可用，但對通過調整小區邊界調整連接的思路不可行

3. 場景介紹
（1）對AP：所有AP連接到一個設備上，通過這個設備連接進入大網；AP 有固定的k個傳輸功率級別，且級別差爲$γ=\sqrt[k]{P_{max}/P_{min}}$ ，與商業AP相同；設定AP的重疊覆蓋較大。
（2）對用戶：用戶會移動但一般長時間處於同一位置。同一時間只與一個AP關聯
（3）對交互：AP階段性的發送beacon廣播。用戶進入WLAN後，初始化一個掃描操作，監聽beacon消息尋找可連接的所有AP，並連接最強RSSI的AP。當信道質量低於一個確定的閾值後，用戶初始化一個新的掃描操作。用戶感知的RSSI只與功率及距離有關。優於傳輸比特率取決於SNR，故連接到同一AP的用戶速率不同

4. 挑戰
簡單的貪心算法是直接降低擁塞AP功率直到無法降低，但這會引起連鎖反應且不一定收斂至最優。

5. 本文算法介紹
與小區呼吸相同的是通過調整beacon消息功率來調整小區大小。不同的是小區呼吸通常是無法求解最優也無法獲得確切值的，但本文算法證明最優且能求得確切全局最優。
算法針對兩種情況：預先知道所有可能的用戶-AP對之間連接的功率和負載的完整知識以及只知道目前相連的用戶-AP對之間連接的功率及負載的有限知識。
算法分兩步，第一步是最小化最大擁塞負載，第二步是均衡負載

1. 最小化最大擁塞AP負載：將擁有最大負載的AP的負載降低到最低且不會有其他AP負載超過最終的該最大負載AP的負載。
   i. 瓶頸集法（針對完整知識）：初始瓶頸集B爲最大負載AP，降低一級B中AP功率，並將B以外AP功率超過Y的AP加入B中，直到B無增量或B中有AP功率爲0級，完成一次B的迭代。接着，對新的B，進行相同的尋找最大負載Y並加入B的另一輪迭代。所有迭代直到B=A或B 中有AP功率級別爲0爲止
   ii. 最優狀態記錄（針對有限知識）：與上述相同，只不過上述是離線計算，這裏的AP功率改變都是實際進行的，最優網絡狀態都被記錄下來最終部署
2. 最大最小優先級負載均衡算法：依次爲最高負載AP降低負載至最低並固定下來，直到所有AP固定下來
3. 實際部署：單AP在小波動中自行調整，出現超出調整能力的再引發整體更新；整體每隔一段時間集體更新一次

6. 實驗介紹
（1）對比對象：默認的最強信號連接SSF和公認的性能接近最優的方案（多徑的FRAC及其舍入後單徑的INT）
（2）實驗場景：程序模擬，對實驗中AP個數（20）、用戶數（50-200），以及AP與用戶之間的信號關係（路徑損耗）做了詳細設定
（3）對比內容：
– 不同用戶數對比，發現儘管多用戶時不如INT，但算法對用戶的敏感度沒有INT要求那麼高，能在稀疏用戶時反超INT
– 面對負載均衡場景，發現本文算法更適合
– 設定AP功率級別個數，發現只需要5-10個級別已經足夠有好的性能
– 對收斂時間進行模擬，發現只需要30s-2min左右的收斂時間

正文

摘要

對無線局域網（WLANs）而言，最大化網絡吞吐的同時實現公平性是關鍵挑戰之一。其目標是實現APs的負載均衡。而當今的AP負載是非常不均衡的。爲減緩這樣的不均衡，一些負載均衡方案被提出，但它們需要專用的客戶端軟件或者WLAN卡來控制用戶連接AP

這篇文章的方案是通過減小擁塞AP的小區大小來實現負載均衡的，這個方案與蜂窩網絡中的小區呼吸策略在概念上相同。這個方案不需要修改用戶側也不需要修改標準，只需要AP有動態改變發送AP beacon信息的功率的能力。和已有的小區呼吸方法不同，小區呼吸使用的是局部優化的啓發式算法，本文的算法能保證找到最優的beacon功率設置，並在多項式時間內最小化最擁塞AP的負載。接着考慮網絡範圍內最大最小負載均衡問題。證明了這個方法NP難。我們發現了這個問題的變種：最大最小優先級負載均衡問題，並提出了多項式時間的算法來找到最優的解決方案。大量仿真證明我們的方案與已存在的基於關聯的方案性能相當或更優

1 概述

在IEEE 802.11 WLAN中，APs之間的負載是不均衡的。默認連接方式是WLAN用戶掃描所有可用信道，找到附近的APs，並連接到最強信號的AP上，而不考慮AP的負載。因而用戶的不均衡導致了APs負載的不均衡。本文的方案通過減小擁塞小區的大小，從而讓在擁塞小區邊緣的用戶連接到鄰居中擁塞度低的小區上來降低擁塞APs的負載，實現方式是控制AP發送beacon信息的功率，這在概念上類似於蜂窩網絡的小區呼吸，不同的是以前小區呼吸的策略更多的依賴於局部優化的啓發式算法，而這裏算法能對最大最小均衡給出確切的最優的小區尺寸。通俗來說，如果一個WLAN不可能在沒有增加其他APs負載的情況下降低自己的負載，他就是一個最大最小負載均衡網絡。我們的優勢在於不需要用戶側或標準的修改。

A 通過用戶-AP聯合控制實現負載均衡

當前802.11標準未提供任何解決負載不均問題的方案。大多公司或學術機構一般通過使用特設的客戶端的軟件或WLAN卡來控制用戶-AP互聯。比如一些供應商已經在設備驅動、AP固件和WLAN卡中加入了特定的負載均衡功能。這些方法中APs通過修改beacon信息向用戶廣播負載水平，用戶選擇最低負載的AP。

一些研究提出了各種關聯度量，而不是使用RSSI作爲唯一的連接標準。它們通常考慮關聯到AP上的用戶數、關聯用戶的平均RSSI以及一個新連接到這個AP上的用戶當前可以獲得的帶寬等。如：Balachandran讓用戶連接到能提供最小要求帶寬的AP上。如有多個AP符合要求，則選擇最強RSSI的AP。Velayos等人設計了一種分佈式負載均衡架構，其中AP的負載被定義爲通過了這個AP的上行下行流量的聚合。Kumar的聯合選擇算法基於公平性和吞吐的比例平衡。大多數算法都只考慮了新加入了用戶，也有兩個例外：Tsai and Lien的方案中當整體負載上升到一個閾值或者分配給用戶的帶寬降低到一個閾值後重分配用戶；[2]的實時方案方案階段性的優化用戶-AP連接，這個工作還證明了公平性和負載均衡之間的相關性：AP負載均衡的時候就能實現公平的服務

這些方案由於需要在用戶端進行軟件或硬件的部署而缺乏可操作性。如今，WLAN用戶頻繁在不同WLAN之間移動，不同網絡由不同組織管理，使用了不同的負載均衡方案。讓用戶對每種方案都有相應的客戶端是不現實的。這要求提出一個新的不需要任何客戶端或協議標準修改的模型

B 小區呼吸實現負載均衡

在CDMA的蜂窩網絡中，一個小區的覆蓋與容量反相關。隨活躍用戶增多，基站的總干擾也會增多。因此，在擁塞小區，用戶需要提高功率來保持它在基站處的信噪比。當擁塞小區的用戶提高傳輸功率時，也提高了它們對鄰居小區的干擾（CDMA網絡中所有小區使用同樣的頻帶）。因此，這造成了整體的網絡容量的下降。然而，用戶的最大傳輸功率是確定的，因此遠離基站的用戶得到的服務將會更差。這種叫做遠近效應的問題將會導致正向反向鏈路的小區邊界不均衡——正向邊界取決於基站的導頻信號（pilot signal），與干擾無關。也就是說，反向連接的小區邊界比正向連接的要更緊。爲解決這個問題，Togo and Jalali分別獨立的提出了小區呼吸方案。這個方案通過減小導頻信號來縮小擁塞小區。

一些研究探索了將小區呼吸與其他干擾緩和方案的結合。Yang and Ephremides通過結合小區呼吸和帶寬空間分區提出瞭解決遠近效應的方案；Du等提出了一種分佈式負載均衡的氣動振動算法；Sang等使用小區呼吸技術協調包級調度。總的來說，現有的小區呼吸技術使用的是概率局部優化策略。因此，都不能保證方案的質量。而由於WLAN比小區小很多，這些方案可能無法在WLAN內有好的性能（後面具體討論）。而且這些技術無法簡單的應用到IEEE 802.11 WLAN內。它們需要改變調度算法或用戶位置的知識。這讓我們需要找一個針對WLAN的特定的全局最優算法

C 最大最小負載均衡算法

原則上，我們的目標可以看作是一個不相關的並行機器調度問題的最小-最大變量。這個問題是：對給定的作業和機器，尋求最小化任何機器的最大處理時間的作業機器匹配，結果要給出在每個機器上每個作業的運行時間。使用這個算法，大多數工作都解決了在有線網絡中爲一組預先確定的路由分配公平帶寬的問題

爲最大最小公平帶寬分配選擇路由是一個困難得多的問題。Megiddo針對單源分流問題，提出了一種多項式時間算法，求出了最優的最大最小公平解。Kleinberg擴展了這個問題，考慮連接是沿着一個單路徑路由的。他們的方法可以應用於不相關的並行機器調度問題的負載保留實例，認爲每個作業在可行機器子集上有相同的運行時間。他們認爲一個常數倍近似的算法無法倍找到，因此提出了一種前綴和爲2倍近似的算法，即對任意k＞0，按照負載升序排列的機器的前k個的和，最多指揮使最優解前k個和的2倍。

用戶-AP連接控制方案的另一項重要研究（可歸類於一般不相關的並行機器調度），其中每個作業可能在每臺機器上有不同的運行時間。它的最大最小負載均衡算法確保了相較於最優有2倍近似比的的算法。值得注意的是，這所有的方法都需要對作業-機器匹配進行完全控制。這在用戶-AP連接控制算法中是可行的，但在小區呼吸中，因爲調控連接僅通過調整小區邊界，因此是不能使用的，需要新的方案

D 本文貢獻

我們爲IEEE802.11 WLANs提出一種新的負載均衡方案。這個方案通過修改AP發送beacon消息的功率來調整小區最大最小，而不需要修改數據傳輸信道的傳輸功率。本文是第一個將小區呼吸應用到802.11 WLANs上的。更重要的是，不同於現存的小區呼吸，我們找到了確切的全局最優，而不是依賴本地啓發式優化。我們的算法並不綁定到特定的負載定義，而是支持廣泛的負載定義。這裏認爲AP的負載爲它連接的所有用戶的集合。負載的界定可以使用簡單的用戶連接數，或者複雜點使用傳輸比特速率或流量需求。我們的方案不需要任何來自於用戶的信息或標準的修改，只需要AP有動態修改beacon發送消息速率的能力——這對當今AP而言很容易通過軟件更新實現。

算法在數據操作中心（NOC）運行，這裏將通過類似於SNMP的方法收集負載和連接的信息。依據已有的信息，我們考慮兩個知識模型。

1. 完整知識。預先知道所有可能的用戶-AP連接的功率和負載。不過這在當前WLAN中並不具備條件
2. 有限知識。只知道當前用戶-AP連接以及負載的beacon功率信息。
   完整知識算法作爲可操作性更強的有限知識算法的基礎

算法的提出分兩步。

1. 定義最小化最大擁塞AP負載問題，最大擁塞AP的負載又稱爲擁塞負載。提出兩個多項式時間算法尋找最優方案，分別對應完整知識和有限知識——而相類似的負載均衡問題是NP難的。更有趣的是，這個多項式時間的算法竟然對有限知識模型也適用。算法的基礎是，只要當前功率設置高於最優設置（也就是每個AP有比最優的相同或更高的功率級別），就能調用到一個確定的功率下降操作的序列達到最優解。算法一開始所有APs處於最大功率級別，然後迭代降低一部分AP的功率。
   (1) 對完整知識，使用瓶頸集的概念，在將瓶頸集中所有APs的功率級別降低後，每個AP的負載確保會嚴格小於等於初始擁塞負載。這保證了單調收斂至最優方案。
   (2) 對有限知識使用最優狀態記錄方案，擁塞AP的功率水平會逐漸降低直到功率無法被降低，這時最優方案就被找到並記錄了
2. 解決了尋找最大最小負載均衡問題的方案。證明這是一個強NP難問題且沒有好的近似算法。我們證明了不存在保證任何常數逼近比的算法，且任何前綴和逼近算法的逼近比至少是Ω(logn)，n爲AP數。我們找到這個問題的變種——最大最小優先級負載均衡，這個方法對兩個模型都能在多項式時間計算出來。

通過仿真，不考慮網絡負載模式，我們的小區呼吸方案與已存在的分配控制方案相似或更好。而且我們能使用更少量的功率級別也能有這樣的能力。我們的方案是最大最小優先級負載均衡方案，可即使AP沒有優先級也能通過隨機給出優先級來得到接近最優的結果。且儘管一開始面向IEEE 802.11 WLANs，我們的方案對其他無線網絡也適用。

2 網絡模型

考慮包含一個AP集的IEEE 802.11 WLAN網絡，以A表示|A|表示AP數。所有APs連接到一個固定的設備上，通過那個設備連接到有線網絡中。每個AP有一個確切的傳輸範圍，只能爲這個範圍內的用戶服務。每個AP設置了K+1個傳輸功率級別{$P_k|k∈[0..K]$}，其中最小和最大級別分別是$P_0$和$P_K$ 。每個級別的$P_k$在功率集中的位置爲k，且傳輸功率比前一個級別強γ倍，其中$γ=\sqrt[k]{P_{max}/P_{min}}$ 。可知$P_k=P_{min}·γ^k$。這個假設與當前的商業AP的設置相同。設每個AP的功率是$P_a$，其在功率表中的位置是$p_a$。我們假定APs覆蓋重疊較大，所以即使在所有AP配置最小功率的時候每個用戶至少能連接到一個AP，定義A中所有AP覆蓋區域爲網絡覆蓋區

用U表示覆蓋面積中用戶集，|U|爲用戶數。用戶可以移動但一般會長時間處於同一位置，且任意時間與一個AP互聯。每個AP階段性的發送beacon消息來廣播自己的位置。用戶進入WLAN後，初始化一個掃描操作，掃描所有信道（也就是監聽beacon消息）尋找可連接的所有AP，並連接最強RSSI的AP。當信道質量低於一個確定的閾值後，用戶初始化一個新的掃描操作並可能連接到一個不同的AP上

用戶感知到的AP的RSSI表示爲$R_{u,a}$，這取決於AP的功率和信號衰減$g_{u,a}$，也就是$R_{u,a}=g_{u,a}·P_a$。信號衰減這裏只認爲是由於長距離導致的路徑衰減和緩慢衰落導致的。認爲計算的這段時間內信號沒有變化。由於用戶-AP互聯取決於RSSI，將網絡區域分到|A|個互斥的小區。AP a的小區內AP a有最強的RSSI。因此AP a的小區取決於AP a的傳輸功率和a周圍AP的強度

一個用戶-AP對的傳輸比特速率決定於信噪比（SNR），因此連接到同一AP上的用戶會有不同速率。每個用戶在它連接的AP上有負載，一個AP的總負載$y_a$就是所有連接用戶負載的和。$l_{a,u}$表示用戶u在AP a上的負載。我們認爲這種負載是連續的。有最大負載的AP叫做擁塞AP，它的負載叫擁塞負載Y。其他AP叫非擁塞AP

本方案是自適應的，對負載的定義甚至都可以修改，比如可以認爲一個AP的總負載是用戶負載的乘積都沒問題的，取log就行了。

符號	含義
A	AP集
B	瓶頸AP集
D(d)	擁塞AP集
F	固定AP集
$g_{u，a}$	AP a到用戶u的衰減
K	最大傳輸功率序號
$l_{a，u}$	用戶u在AP a上的負載
$P_a$	AP a的功率
$p_a$	AP a傳輸功率級別[0…K]
$R_{u，a}$	用戶u接收到來自AP a的信號強度
S	網絡狀態{(a,$p_a$)}
S ̃	一個記錄的網絡狀態
U	用戶集
$U_a$	與AP a連接的用戶集
$y_a$	AP a的負載
Y	網絡的擁塞負載
$\widetilde{Y}$	被記錄的網絡狀態的擁塞負載
$\vec{Y}$	AP負載向量，包含所有AP的負載

3 小區呼吸方法

假定存在NOC（網絡操作中心），AP將自己的關聯用戶、負載和其他相關信息報告給NOC。NOC計算並配置AP

A 小區呼吸的概念

通過減小小區面積來降低負載，這要求擁塞小區邊界的用戶切換連接至周邊不擁塞的小區。這可以通過降低擁塞AP的功率來實現，如下：

• 例1
  圖1a中AP abc分別連接了1,8,1個用戶，這裏將負載設置爲用戶數，因此顯然b負載遠超其他AP。通過降低b的傳輸功率，b的小區面積降低，它的4個用戶由於過低的信號質量重新掃描並切換到其他AP上。因此用戶連接數變爲3,4,3，更加分佈均勻
  

直接降低傳輸功率影響整個信道質量，不僅降低了需要切換的用戶傳輸質量，也降低了繼續連接這個AP的用戶傳輸質量，使他們傳輸速率下降，傳輸時長增加，當AP負載考慮了用戶的有效吞吐時這會加重AP負載，因此，增加非擁塞AP的功率而非降低擁塞AP功率似乎更好

爲解決此問題，將傳輸分爲數據傳輸和beacon消息傳輸。一方面，用戶-AP的傳輸速率取決於數據傳輸信道質量，最大功率傳輸數據將能得到最大的AP-用戶信噪比和最大的傳輸速率；另一方面，用戶是在掃描AP的beacon消息以後決定連接的，所以只要降低beacon消息功率，就能減小小區面積。這就是小區呼吸。數據流量與beacon消息的隔離是對AP唯一的要求，通過軟件升級一定很容易做到。

B 用戶-AP連接改變的觸發

在很長一段時間，上述通過勸退新用戶連接到擁塞AP的方式幫助了AP負載均衡。但由於小區呼吸不能精準的控制用戶-AP連接，因此可能不能提供迅速的應對，因爲一旦連接建立，用戶就只會考慮數據傳輸接收信號，只要這個信號不變就不會斷連。而當突然流量出現時，我們需要的是主動調用掃描操作。我們的方案是短暫的降低擁塞AP的數據傳輸功率，讓邊界用戶觸發掃描操作。另一個方案是向所有或一部分用戶發送斷連消息，這種靈活度更高，還不會影響不想影響的用戶。本文後面假定已經有一個方案觸發更新。後面討論中的功率改變就是beacon功率改變。

C 算法挑戰

貪心算法：降低擁塞AP的功率級別直到最低功率級別。下例表明即使很簡單的場景貪心算法也可能失敗，甚至在一些案例中最終的擁塞負載比一開始的還高

• 例2
  如圖2。對2個AP2個用戶的WLAN，u1只能連到a，負載1，u2可連接到兩個AP，負載2，它會選擇連接到最高功率的AP。一開始ab都使用最大功率K傳輸，此時a負載3.貪心算法爲降低a負載讓u2連接到b，ab負載現爲1和2。下一輪算法會降低b的負載，然後b被切換到a。這個算法會讓b一直切換直到ab都達到最低功率，這時結果是a3b0，顯然不是最優。這表明算法需要更復雜一些。

4 最小化擁塞負載

本章提出了對完整知識和有限知識兩種模型的兩個最小化擁塞AP負載的算法

A 問題描述

定義1：網絡狀態。表示所有A中AP的beacon功率等級，S={{a,$p_a$)}。網絡狀態決定了所有AP的小區大小。又由於用戶總選擇RSSI最強的AP連接，它也決定了用戶-AP連接狀態，並決定了擁塞AP D和擁塞負載Y。只有網絡狀態改變纔會有切換髮生，定義爲狀態切換

定義2：AP負載擁塞最小化。這個問題尋找能最小化AP擁塞負載的網絡狀態，根據可獲取的信息將這個問題分爲以下兩類：

定義3：完整知識（CK）模型。此時網絡上可獲取的信息包括任意AP-用戶對之間的信號衰減、用戶-AP負載。如果所有用戶收集RSSI信息併發送給NOC，完整信息是可以得到的。這在IEEE 802.11-k中給出了建議。但目前並未實現，因此需要使用有限知識方案

定義4：有限知識（LK）模型。只能獲取連接到每個AP的用戶集以及每個用戶在關聯AP的負載。

完整知識模型中，NOC能在不修改網絡狀態的情況下知道所有可能的網絡狀態，NOC就能離線計算，找到期望的AP並完成配置，但在有限知識中是不可能的。下面我們將看到兩種模型的最優網絡狀態都難以被找到

B 初步考察

我們提出了一些與我們的算法相關的基本觀察結果。最重要的是研究科AP功率降低與網絡狀態轉變的關係

定義5：子集A’功率降低。子集A’的功率降低實現了狀態轉變，在A’中所有AP功率降低一級而其他AP功率不變。

引理1：對集合A’功率降低，唯一的可能是連接到A’上的用戶切換到A-A’這個集合中，而A’內和A-A’內切換都未發生。

推論1：所有AP功率降低不會改變用戶-AP連接關係

對於$S^{new}$高於$S^{init}$，要求所有AP都滿足init的傳輸級別等於或高於new的傳輸級別（所以每個S都高於它自己）。原始所有AP功率值都是K的狀態，因此高於其他所有狀態，這個狀態叫做最大功率態。$S^{opt}$爲最優控制態，它是$S^{init}$生成的AP功率普遍小於其他生成態的狀態。如果一個AP在初始和最優態值相同，這種AP叫做錨點(anchor)

結合引理1，只要A’中不包含錨點就可以放心的讓A’所有AP降低功率，即：

引理2：C爲$S^{init}$中的錨點集。降低A-C的集合A’的功率可以得到一個新的狀態$S^{new}$，這個狀態高於最優狀態。

推論2：只要$S^{init}$不是最優，一定存在一個功率降低操作集，通過降低非錨點AP的功率，可以收斂到最優狀態。非錨點AP的獲取可以通過擁塞AP得到

由於最優集不是先驗的，我們無法知道何時已經抵達最優。這時繼續降低擁塞集AP的功率可能會增加其他AP的負載到Y甚至更高如例2。爲避免這種情況，使用以下兩種方法：

1. 瓶頸集功率降低，保證擁塞負載永不升高，將此方法用於完整知識模型中，讓功率降低的集合單調收斂至最優
2. 最優狀態記錄，記錄至今找到的最優狀態，用於有限知識方案中

C 瓶頸集

瓶頸集B包括所有負載爲Y的以及所有負載可能會因爲功率降低提升至Y甚至更高的AP集合，可遞歸的定義爲：

定義6：瓶頸集。對初始狀態$S^0$有擁塞負載Y，定義$B^0$爲此狀態下負載爲Y的集合。已知在$S^{i-1}$狀態有瓶頸集$B^{i-1}$，狀態$S^i$就是通過降低$B^{i-1}$中的功率得到的，其他AP的功率由$S^{i-1}$繼承來。而$B^i$包含$S^{i-1}$以及所有變成或超過Y的AP。

• 例3
  對例2中的局域網，圖2a中二者功率相同，降低AP a的功率級別，其負載從3降低到1，而b的負載增加至2，即圖2b，此時瓶頸集爲AP a。接着AP b降低功率，負載從2降至0，此時瓶頸集包括兩個AP

對完整知識，已知網絡狀態瓶頸集很容易被計算出來。
初始狀態計算所有AP與用戶之間的RSSI，從而決定初始用戶-AP連接狀態，並得到每個AP的負載以及Y，同時得到$B^0$，然後循環根據$B^{i-1}$得到功率下降後每個用戶和AP在i時的RSSI，然後確定新一輪用戶與AP的連接，將新一輪連接中超出Y的AP加入$B^i$中。迭代運行直到找到終止條件。在終止時，就得到了瓶頸集B。圖3是此算法的詳細描述，注意這個算法並不會真的改變網絡狀態，僅僅是進行了模擬計算

引理3： 對狀態S，其瓶頸集是B，擁塞負載是Y，B是包含了所有擁塞AP的最小集合。在B進行了功率降低操作以後，所有AP將≤Y。所有擁有以上屬性的A’中必定包含B

設{$S^j$}爲使用瓶頸集降低功率生成的網絡狀態序列，而$Y_j$對應每個序列的擁塞負載

引理4：{$Y_j$}是單調非增序列

引理3引出的定理1是我們最優化證明的基礎

定理1：考慮能生成$S^{opt}$及瓶頸集B的$S^{init}$生成的次優狀態，通過集合B功率下降操作，$S^{init}$得到的$S^{new}$也高於$S^{opt}$。

證明：$S^{init}$的擁塞負載嚴格高於$S^{opt}$。引理3告知B是包含了所有擁塞AP的最小集合，且它的功率降低不會引起其他AP負載超過Y，因此$S^{new}$要麼是最優，要麼高於最優

D 完整知識算法

從最大功率狀態開始，迭代計算瓶頸集B，每次都要決定需要再降低功率還是最優的已經被找到。爲此，使用兩個結束條件。

1. 是否B=A。推論1告訴我們降低所有AP的功率不會改變連接關係，因此這不會降低最大AP負載。
2. 瓶頸集B包含了一個有最低傳輸功率的AP。此時B中所有AP不能同時降低功率
   圖4是這個算法表示，例4是一個使用本算法的例子
   
   

• 例4
  如圖5a，K=2。實線爲默認連接，線上的值爲此連接的帶來的負載，虛線值上的星號表示想要實現這個連接需要兩個功率級的差異。如u2想要連接到b可能需要pa=0，pb=2。
  初始狀態所有AP功率爲2級，圖5b給出了負載情況。第一輪，B={c}，c的功率因而降爲1級，u3連到b上，圖5c爲新連接負載情況。此時c仍爲擁塞AP，但c降級會導致u4連接到b上使b成爲擁塞AP，因此第二輪擁塞集爲{b，c}，這一次降級以後結果如圖5d表示，此時c級別爲0，循環結束。明顯，最後狀態擁塞負載降低，但並沒有對非擁塞AP做負載均衡

定理2：完整知識算法總能找到最小化擁塞負載的最優狀態

證明：由定理1知，只要算法未到達最優狀態，通過降低瓶頸集功率後會高於最優解。引理4表明計算過程擁塞負載永不增加。因此這裏只需要說明算法會在最優處停止。

功率降低操作最多是K·|A|次。如果最終狀態不是最優。由於$Y_j$是單調不增的，所以算法一定是停在了找到最優以前。算法會在B有AP功率達到0級或B=A時停止，但我們知道，前者功率已經無法下降了後者下降了也無法改變連接。因此一定還有一個A’集合不包含B，且其功率下降會降低擁塞負載。但引理3告訴我們這時不可能的。

計算複雜度爲$O(K·|A|^3·|U|)$。算法角度上，是僞多項式的。實際操作中，K是一個像10一樣的小數，因此實際操作上它就是多項式時間的。

E 有限知識算法

這裏無法像完整知識算法中計算出瓶頸集。根據推論2，只要網絡狀態是次優的，一個功率降低AP集可以通過降低功率收斂至最優。此性質需要解決終止條件問題，否則會像例2那樣在次優時終止。這裏突出最優狀態記錄方案，將會記錄至今有最低擁塞負載的狀態。定義$\widetilde{S}$記錄狀態，$\widetilde{Y}$記錄此狀態下的擁塞負載

算法：以最大功率狀態初始化，並用$\widetilde{S}$和$\widetilde{Y}$記錄當前狀態。算法迭代進行，此計算得到擁塞集D，只要D不包含任何最小功率的AP，就會將D中所有AP功率降級。如果新一輪結果優於記錄的擁塞負載，那麼更新記錄。最終算法將AP設定爲記錄下來的功率設置。圖6是算法描述，例5是一個例子。

• 例5
  使用例4同樣的WLAN。圖7a是初始連接。c是擁塞AP，通過算法它將會兩次降低功率分別變成圖7b和圖7c。而第一次迭代擁塞負載從12變爲10，因此這個狀態將會被記錄下來，而第二次則不會。第三次迭代u3也會改變自己的連接，最終c又是擁塞AP了。最終的連接將會變成圖7b的樣子，因爲記錄是這個狀態的。
  

定理3：有限知識算法總能找到最小化網絡擁塞負載的最優狀態

證明：算法始終記錄了當前最優狀態。考慮如果最終沒有找到最優的結果。推論2告訴我們只要算法未達到最優，迭代獲取的狀態序列就高於最優狀態。因此算法在高於最優的地方停止了。然而算法只在某個擁塞AP功率達到0級的時候停止，此時它的負載已經不可能通過降低功率來降低。這說明要麼它已經是最優了，要麼它不會高於一種最優狀態，這與假設相反，所以一定會在最優狀態停止

5 尋找一個最大-最大負載均衡狀態

4中的算法最小化了網絡擁塞負載但沒有平衡非擁塞AP的負載。本章進行這方面討論。目標在A中定義，但這是個NP難問題，且很難找到近似解。儘管如此，本文介紹了一個問題的變種：最大最小優先級負載均衡問題，可在多項式時間找到最優解，在B中介紹了這個算法本方案用於有限知識模型（完整知識也適用）

A 問題描述

（本章證明較長，因此未翻譯相關證明）
一般當無法降低任意一個AP的負載卻又不增加其他與這個AP相同或更高負載的負載時，稱網絡已經達到最大最小負載均衡了。定義$\vec{Y}$爲|A|個元組的降序排列的所有AP的負載

定義7：最大最小負載均衡網絡狀態。對一個網絡狀態S，其對應負載$\vec{Y}$，對其他任意S’對應的$\vec{Y}, \vec{Y}$’中相應序列的負載將與它們相同或更小。

接下來證明它是NP難的。其實我們可以證明即使找到擁塞AP得最小集合也是NP難的。

定理4： 尋找一個網絡狀態，它包含最少的擁塞AP是一個NP難問題，即使是對一個只有2個功率等級的例子

證明：略（此處不先翻譯了）

推論3：找到最大最小負載均衡狀態是一個NP難問題

定理5：除非P=NP否則沒有γ倍近似解

定理6：除非P=NP否則沒有γ倍前綴和近似解

由於NP難，設定一個變形。問題中假定每個AP有一個唯一優先級來表示AP的重要性。我們不討論如何設定優先級。接下在給出一個優先級負載定義

定義8：一個AP的優先級負載。AP a的優先級負載ya定義爲有序對($l_a,w_a$)，其中$l_a$是AP a上所有負載，$w_a$是AP a的優先級

簡稱AP的優先級負載爲負載。當說a的負載高於b的負載時，認爲ya比yb字典序高，字典序高即：（1）la>lb或（2）la=lb且wa>wb。目標設定爲尋找最大最小優先級負載均衡的網絡狀態

由於AP的優先級唯一，所以所有AP的優先級負載各不相同，因此

性質1：在有了優先級負載定義後，任何網絡狀態中每次擁塞AP僅包含一個AP

B 最小-最大算法

每次迭代稱爲一次routine，在第m次迭代中，與4E相同，計算使負載向量第m個座標的優先負載最小化的網絡狀態。routine需要滿足兩個要求：
R1. 每次迭代的初始狀態必須是高於最優狀態的
R2. 第m次迭代中不能增加在前面的迭代中已經決定好負載的的AP的負載

爲滿足R1，我們從最高功率網絡狀態開始並確保每次迭代的狀態高於最優；爲滿足R2，我們設置一個固定AP集F，它們的負載已經在以前的迭代中被決定了。最開始，F是空的。由性質1可知，每次只會有一個未固定AP，也就是擁塞AP d有擁塞負載

在第m次迭代中調用LK_Minimize_m_coordinate routine來最小化負載向量的第m個。這個routine使用3個記錄的變量：目前爲止找到的擁塞負載$\widetilde{Y}$、第一次發現最優負載的網絡狀態$\widetilde{S}$和相應的擁塞AP $\widetilde{d}$

一開始將用於記錄的變量初始化爲初始狀態相應值。然後迭代計算擁塞AP d知道d已經達到了最低功率，否則降低d的功率並評估這樣的降低對擁塞負載Y以及固定AP的影響。如果有固定AP的負載被提高則停止，這滿足了R2。另外，如果這個狀態的擁塞負載比記錄的負載更低，那就更新記錄的變量。最後根據記錄的網絡狀態設置，並返回記錄的網絡狀態和擁塞AP。擁塞AP被加入固定AP集合裏面，然後算法觸發新的routine來最小化第m+1個。例6是一個例子，圖8爲整體的計算過程

• 例6
  考慮例4的網絡，使用LK_Minimize_m_coordinate算法獲取圖9a結果，可知這個狀態優於使負載向量的第一個座標最小的任何其他狀態。再次調用得到圖9b，這是唯一的最小負載均衡狀態
  
  下面證明這個算法將會發現最優負載向量

引理5：對符合R1的第m次迭代，它將最小化負載向量的第m個而不會修改任何固定AP的負載。而在第m+1次迭代前仍滿足R1

證明：每次迭代都會保留初始狀態並以對固定AP有改變而結束，$\widetilde{S}$中保存的是最小化第m個AP的結果，因此只需要證明$\widetilde{S}$保留了R1。我們假定第m次迭代以高於最優的狀態開始，而$\widetilde{S}$是降低了擁塞負載且滿足R2的狀態，因此它高於任何使第m個最小化的狀態，因此符合R1

定理7：此算法總能找到最大最小優先級負載平衡解決方案

證明：這是引理5通過歸納得到的結果，對所有m座標都能找到最優負載向量

算法複雜度是O($K·|A|^3·|U|$)

6 在線策略

如果每次有一個用戶到達或離開就運行算法會造成頻繁的連接改變，甚至可能斷開用戶正在運行的session。我們的在線策略在切換頻率和網絡最優負載均衡間取得了平衡。。這個策略結合了全局優化和本地優化。本地優化處理動態的用戶進入與離開，全局優化則是階段性觸發或者在本地優化無法保持負載均衡狀態的時候觸發。策略使用3個配置參數：最小負載閾值Ω，小區適應閾值Δ和時間閾值θ。前二者確定了本地優化的邊界，防止微小變化造成不必要的全局優化的調用，後者控制了全局優化的週期性調用

本地優化與全局優化本質不同，它不僅會降低AP功率也會增加AP功率。AP a有鄰居集Na，鄰居的平均負載是$\vec{y_a}$。

• 當AP負載降低時，算法檢查這個新的負載是否滿足小區擴張條件（AP a的所有鄰居負載)
• 當AP負載增加時，檢查新負載是否滿足小區收縮條件（AP a的所有鄰居負載)
• 如果條件都滿足但本地算法無法調整AP的功率級別全局優化算法啓動。且全局算法每隔θ時間啓動一次

7 仿真結果

對比方案：

• 最強信號連接（SSF）方案，是802.11標準，與我們方案中單功率等級的場景相同；
• 分數最優解（FRAC）方案，不單依靠信號強度，目標是實現最大最小公平帶寬分配。由於這個問題是NP難，它使用FRAC，假定用戶可以同時連接多個AP，它通過舍入獲得整數解(我們稱之爲INT)，以滿足單個關聯約束。這個方案被看作基準，因爲它提供了嚴格的性能上界（最低的擁塞負載），且方案確保了2倍近似解。且隨着用戶增加，整數解收斂於分數解。

因此，不能期望所提出的小區呼吸方案比最優關聯控制方法有更高的自由度。與INT對比的目標是發現細胞呼吸方案能實現與其相當的性能，卻不需要特別的用戶端的軟件。驚喜的是，仿真限制小區呼吸方案在一些時候比INT更優。

仿真設置：

20個AP位於5×4網格上，相鄰AP距離設置爲100m，每個AP設置了10Mbps的回程鏈路。做了一定的頻率規劃來降低AP之間的干擾。爲了確定用戶和AP之間的比特率，計算SNR並相應地選擇比特率。當信噪比≥9dB時採用11Mbps比特率，當信噪比≥5dB時採用5.5 Mbps比特率，當信噪比≥3dB時採用2Mbps比特率，當信噪比≥1dB時採用1Mbps比特率。設最大傳輸功率是20dBm最小爲10dBm，中間功率電平是由10dBm間隙除以模擬的功率電平數來確定的。除非特指，使用10個功率級別。爲模擬室內環境，路徑損耗指數設定爲3.3，路徑損耗則爲PL(d)=40-10·3.3·logd，d爲用戶和AP之間的距離。噪聲是-93dBm。在這樣的信道模型中，最大功率覆蓋150m，最小功率覆蓋75m。因此即使是最小功率也沒有覆蓋空洞。所有用戶都是重登錄、準靜態的。每個AP的優先級是隨機選擇的。我們借用了系統性能度量，並定義了AP的負載爲所有相連用戶的比特率

結果介紹

負載適度

圖10是100個用戶隨機分佈後選擇連接的情況。這模擬了負載適度的網絡，AP與活躍用戶的比爲5。Y軸爲AP負載，X軸爲AP序號。負載是通過300次仿真得到的。只有X軸爲整數對應的點有效。可以看到我們的min-max算法和min-congestion算法擁塞負載相同，但字典序排序要更低。min-max和INT明顯優於SSF。min-max方法比FRAC的最大負載高35%

稀疏用戶

仿真50用戶的結果見圖11。發現INT與FRAC之間的間隙比100用戶要大，我們的min-max方案比INT好很多。這是因爲INT方案的性能取決於用戶數。少量用戶使得舍入誤差增加，INT的結果與FRAC結果相去甚遠。但有趣的是，min-max與FRAC及SSF之間的間隙並沒有因爲用戶變化發生很大改變。比如200用戶的狀況下FRAC與min-max之間的空隙也是35%左右。與FRAC之間平穩的相對性能是小區呼吸方案的一個關鍵優勢。

負載不均衡

考慮不均衡的用戶分佈。20%的人隨機分佈，其他集中於兩個不重疊熱點，每個熱點是一個75米半徑的圓，其中一個熱點包含另一個2倍的人。圖12是總人數100的情況。min-max在有熱點的情況下表現更好，明顯優於INT方案

不同級別個數

目前設置10個功率級別。爲檢驗級別數的影響，使用了4種不同的級別數。模擬100人均勻分佈，結果如圖13所示，功率等級的數量超過一定數量的功率等級(在5到10之間)之後，功率等級的影響就會變得非常小

收斂時間

完整知識算法能直接計算出一個節點的最優方案，有限知識則需要迭代修改功率來找到最優。爲捕捉有限知識的開銷，計數了功率調整的數量以及模擬過程中用戶發生的移動數。功率調整數決定了系統收斂前需要的時間，用戶移動切換數決定了切換開銷。下表是統計數據。每個格種前者是有限知識min-max方案結果，後者是有限知識min-congestion方法。後者收斂很快而前者需要更長一點。如果功率調整時間間隔是1s，100隨即用戶的負載均衡算法min-congestion需要約33s，min-max需要2min。用戶的增長似乎不會明顯增加收斂時間，熱點的存在並不一定意味着更長的收斂時間，在min-congestion的情況下，甚至需要更少的時間來收斂

8 結論

爲IEEE 802.11網絡提出了一種創新的小區呼吸策略用於尋找最優負載均衡方案。對問題進行了嚴格的分析並提出兩種算法，從而發現全網範圍確定的最優解。第一個算法最小化最擁塞AP的負載，第二個算法生成最優最大最小優先級負載均衡方案。這些最優化方案只需要獲取一些已知的信息，不需要額外從用戶方或修改標準來獲取。值對AP傳輸beacon消息的功率進行了控制，這通過AP的軟件升級是可行的。仿真發現即使最小數量的功率級別（5-10），也足夠實現接近最優的負載均衡方案，這體現了方案的實用性。特別的，小區呼吸策略能在WLAN的網絡管理工具種部署，並在AP出現不均衡負載的時候被激活。

可用引用

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2. Y. Bejerano S-J. Han and L. E. Li. Fairness and Load Balancing in Wireless LANs Using Association Control. In Proc. ACM Mobicom 2004, pages 315-329, Philadelphia, PA, USA, September 2004. 證明了公平性和負載均衡之間的相關性：AP負載均衡的時候就能實現公平的服務；這是對比的標杆，因爲結果很好

3. V. V. Veeravalli and A. Sendonaris. The Coverage-Capacity Tradeoff in Cellular CDMA Systems. IEEE Trans. on Vech. Tech. pages 1443-1451, Septmber. 1999 在CDMA的蜂窩網絡中，一個小區的覆蓋與容量反相關

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   b. Y. Bejerano S-J. Han and L. E. Li. Fairness and Load Balancing in Wireless LANs Using Association Control. In Proc. ACM Mobicom 2004, pages 315-329, Philadelphia, PA, USA, September 2004.