02算法-漸近符號，遞歸及其解法

算法 漸近符號，遞歸和解法

本書是基於漸近符號，遞歸及其解法第二節課的總結。主要分析了三種漸近符號看，以及三種解遞歸的方法

漸近符號

$\Omega(n^2)$表示當n足夠大的時候，運行時間一定小於$n^2$，是下界
$\Omicron(n^2)$表示小於當n足夠大的時候，運行時間一定小於$n^2$，是上界
$\Theta(n^2)$表示一種緊約束，運行時間與$n^2$成正比，當且僅當$f(n) = \Omicron(n^2) and f(n) = \Omega(n^2)$
還有$\omicron$ 表示小於， $\omega$表示大於

遞歸的三種解法

其中代換法很蠢，我們基本用不到，當我們分析的時候主要使用遞歸樹和主方法，主方法還可以倒推來設計算法

代換法

有這樣一個遞歸的式子：$T(n) = 4T(\frac{n}{2})+n$
Two step：guess，assume and verify
guess: $T(n) = \Omicron(n^3)$
assume and verify: replace of $T(n)$ and $T(n/2)$ with $\Omicron(n^3)$ and verify whether the equation is satisfied
接下來會使用其它的假設來尋找更加接近的結果

遞歸樹

recursive tree 是最簡單和直接的方法
有這樣一個遞歸的式子：$T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n^2$
next I will use left represent left child of the root and right…
the root is $n^2$ the left is $T(n/4)$ , the right is $T(n/2)$
then we will replace the leaf T(n/4) with $T(n/16) + T(n/8) + {n/4}^2$ and the same as &T(T/2)&
Finally we will get a recursive tree like this:

我們可以由級數的公式求出最終的結果

主方法

主方法有很多的限制，首先它是針對形如這樣的式子的解法$T(n) = aT(n/b) + f(n)$ and $f(n) > 0\ \ when\ \ \ n > n_0$
有如下的情況：
case1:
for $f(n) = \Omicron(n^{\log_ba-\varepsilon})$ $for\ some\quad k >= 0$
$T(n) = \Theta(n^{\log_ba})$
case2:
$f(n) = \Theta(n^{\log_ba}(\log_2n)^k)$ $for\ some\quad k >= 0$
$T(n) = \Theta(n^{\log_ba}(\log_2n)^{k+1})$
case3:
$f(n) = \Omega(n^{\log_ba-\varepsilon})$ $for\ some\quad k >= 0$ and $\ af(n/b) < (1-\varepsilon)f(n)$
$T(n) = \Theta(f(n))$
一些應用會在下一節給出