05算法-線性時間排序

簡介

本文主要介紹決策樹模型，推導了基於比較的排序算法的最快速度，然後給出了一種在特定條件下的線性時間複雜度的排序算法。

decision-tree model

這裏決策樹就不多做介紹，其本質就是通過比較來給出所有排序結果的模型。基於比較的算法，merge sort, insertion sort, quick sort, heap sort這一類算法，都可以用決策樹模型來描述
根據推論，一顆完整的決策樹，需要$>=n!$的葉子（這裏可以使用排列組合的知識，要想構建一個數列完整的決策關係，至少需要$n!$次比較）
因此使用完全二叉樹去構建這個決策樹，得到的樹的深度肯定是最小的。就有$n!<=2^h$
上面的公式是可以證明基於比較的排序算法，最快爲nlgn

Counting sort

counting sort是有一定前提的，就是對於$A[i](1<=i<=n)$，都有$1<A[i]<k$。僞代碼如下：

for j = 1 to k
   C[j] = 0
for i = 1 to n
   C[A[i]] = C[A[i]] +1
for j = 2 to k
   C[j] = C[j]+C[j-1]
for i = n to 1
   B[C[A[i]]] = A[i]
   C[A[i]] = C[A[i]]-1

其running time is$\Theta(n+k)$