[HAOI2015]數組遊戲

一、題目

點此看題

二、解法

這類翻棋子游戲有一個套路，可以把原遊戲看成翻每一個棋子的組合遊戲。

想要求出每一個子遊戲的$sg$函數值，轉移時可以繼續把後面的棋子拆成若干個子游戲，設$sg[i]$爲第$i$個位置的$sg$函數，轉移就是$sg$函數前綴和。

打表可以發現$\frac{n}{i}$取值相同時$sg$函數值相同，其實這也不難意會，因爲$\frac{n}{i}$相同，所以後面能翻棋子的分佈是差不多的，這就導致遊戲會產生相同的結果（都說是意會，這麼認真幹嘛）

考慮分塊做法$\frac{n}{i}$相同的劃分成一塊，再用$\sqrt n$分成兩部分考慮，小於的部分直接存，大於的部分存$\frac{n}{i}$。具體轉移的時候只需要考慮每個塊，設這個塊爲$x$，假設已經確定了左端點$l$，可以先找到$\frac{n}{i}$相等的右端點，然後就可以算真正的右端點$r$（滿足$r$整除於$x$），設$sg$函數的前綴和爲$res$，轉移塊的$sg$函數爲$z$，那麼$res\space xor\space z$是一定取得到，這時候我們還要考慮$l,r$中能被$x$整除的個數，如果爲奇數就把前綴和異或上$z$。

做法的複雜度作者不是特別清楚，但是隻要注意卡常，還是足以通過此題。

#include <cstdio>
#include <cmath>
const int M = 500005;
int read()
{
 int x=0,flag=1;char c;
 while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
 while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
 return x*flag;
}
int n,m,k,t,nn,a[M],b[M],q[M],g[M],tag[M];
void init()
{
    for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
        r=n/(n/l),q[++t]=r;
    for(int i=t;i>=1;i--)
    {
        int x=q[i],res=0,cnt=0,y=1;
        for(int l=2*x,r;l<=n;l=r+x)
        {
            r=n/(n/l)/x*x;
            int z=l<nn?a[l]:b[n/l];
            tag[res^z]=1;
            g[++cnt]=res^z;
            if(((r-l)/x+1)&1) res^=z;
        }
        while(tag[y]) y++;
        x<nn?a[x]=y:b[n/x]=y;
        for(int j=1;j<=cnt;j++) tag[g[j]]=0;
    }
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    nn=sqrt(n);
    init();
    while(m--)
    {
        k=read();
        int res=0;
        for(int i=1;i<=k;i++)
        {
            int x=read();
            res^=(x<nn?a[x]:b[n/x]);
        }
        if(res) puts("Yes");
        else puts("No");
    }
}