C++最短路問題基礎算法模板

先上本篇博客的主要內容(圖片有一處打錯了應該是dijkstra)

樸素dijkstra算法

時間複雜度爲O(n²)，多用於不存在負權邊的稠密圖(指邊數遠大於節點數)中

int g[N][N], dis[N], n, m;//g[N][N]爲鄰接矩陣用於存儲每條邊，dis[N]存儲某個點到1號點的最小距離， n爲點數，m爲邊數
bool visit[N];//儲存每個點的最短路是否確定

int dijkstra()
{
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[1] = 0;

    for(int i = 0; i < n - 1; i++)
    {
        int t = -1;//在未確定最短路的點中尋找距離一號店點最近的點
        for(int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            if(!visit[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j]))
                t = j;
        }

        visit[t] = true;
        //用t更新其他點的距離
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            dis[j] = min(dis[j], dis[t] + g[t][j]);
        }
    }
    return dis[n];
}

堆優化版dijkstra算法

時間複雜度爲(mlogn)，多用於不存在負權邊且爲稀疏圖(邊數約等於節點數)中

typedef pair<int, int> P;
int h[N], ne[N], e[N], w[N], idx;//用鄰接表來儲存邊
int n, m, dis[N];//儲存所有點到一號點的距離
bool visit[N];//判斷每個點的最短路是否確定

void add(int a, int b, int c)//將邊添加到鄰接表中
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int dijkstra(void)
{
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[1] = 0;

    priority_queue<P, vector<P>, greater<P> > heap;
    heap.push({0, 1});//first儲存距離， second儲存編號
    
    while(!heap.empty())
    {
        P t = heap.top();
        heap.pop();

        int ver = t.second, distance = t.first;
        if(visit[ver]) continue;
        visit[ver] = true;

        for(int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if(dis[j] > distance + w[i])
            {
                dis[j] = distance + w[i];
                heap.push({dis[j], j});
            }
        }
    }
    return dis[n];
}

bellman_ford算法

時間複雜度爲O(nm)，用於存在負權邊的最短路徑，也可存在負權迴路

int n, m;       // n表示點數，m表示邊數
int dist[N];        // dist[x]存儲1到x的最短路距離

struct Edge     // 邊，a表示出點，b表示入點，w表示邊的權重
{
    int a, b, w;
}edges[M];

// 求1到n的最短路距離，如果無法從1走到n，則返回-1。
int bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    // 如果第n次迭代仍然會鬆弛三角不等式，就說明存在一條長度是n+1的最短路徑，由抽屜原理，路徑中至少存在兩個相同的點，說明圖中存在負權迴路。
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
        {
            int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
            if (dist[b] > dist[a] + w)
                dist[b] = dist[a] + w;
        }
    }

    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
    return dist[n];
}

spfa算法

最常用的最短路算法之一，時間複雜度爲O(m)，最壞情況下爲O(nm)

int h[N], w[N], ne[N], e[N], idx;//用鄰接表儲存邊
int n, m, dis[N];//儲存每個點到1號點距離
bool visit[N];//判斷每個點是否在隊列中

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int spfa(void)
{
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[1] = 0;

    queue<int> heap;
    heap.push(1);
    while(!heap.empty())
    {
        int t = heap.front();
        heap.pop();

        visit[t] = false;
        for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if(dis[j] > dis[t] + w[i])
            {
                dis[j] = dis[t] + w[i];
                if(!visit[j])
                {
                    heap.push(j);
                    visit[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    return dis[n];
}

flody算法

時間複雜度爲O(n³)，用於求多源最短路問題

int dis[N][N], n, m, k;

int floyd()
{
    for(int k = 1; k <= n; k++)
    {
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
            }
        }
    }
}

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