關於形式語言與自動機的DFA與NFA一個小小的思考

來自課本的一個問題，沒有解析，記錄個人分析

至少是2ⁿ次方個，如何推導？
先用表格列舉幾個，看有無規律：

這就是列舉的前11個狀態，我們可以發現:

• 首先只有一個狀態元素的集合只有{q0};
• 擁有兩個狀態元素的集合是{q0,q1},{q0,q2},{q0,q3}…{q0,qn}
• 擁有三個狀態元素的集合是{q0,q1,q2},{q0,q1q3},{q0,q1,q4}…{q0,q1,qn}…{q0,q2,q3}…

根據以上的列出情況加上由子集構造可以知道，其實就是集合的組成排列組合。
我們可以先不看每一組中的q0（q0個數爲C(n,0),即一個）因爲這是每一個集合中必有得狀態元素，那麼組合情況就是
{q1},{q2}…{qn} + {q1,q2},{q1,q3}…{q1,qn},{q2,q3}…+{q1,q2,q3…,qn}
{q1},{q2}…{qn}個數就爲C(n,1),
{q1,q2},{q1,q3}…{q1,qn},{q2,q3}…個數就爲C(n,2),
{q1,q2,q3…,qn}個數就爲C(n,n)
那麼加上q0之後，求和爲C(n,0) + C(n,1)+ C(n,2)+…C(n,n) = 2ⁿ

那爲什麼是至少2ⁿ個呢？
如果少於2ⁿ個，比如2ⁿ-1個呢？假設最大集合數是2ⁿ- k，那麼很明顯與我們上述推斷的結論矛盾，即存在某一個狀態集合是我們達不到的，那麼更根據組成類似的集合構成C(m,n)，那麼如果某一個狀態不能達到，那麼所有的狀態集合中的數目都要減一，即2^n-1個。反之，達到的話，就有2ⁿ。
或者歸納證明：
只有一個狀態元素，如圖

那麼很明顯滿足上述表達式，最少是2個狀態數目；
假設C(n-1,0) + C(n-1,1)+ C(n-1,2)+…C(n-1,n-1) = 2^n-1成立，那麼在最後再加入一個狀態元素，那麼C(n-1,0) + C(n-1,1)+ C(n-1,2)+…C(n-1,n-1) + 2^n-1 = 2^n-1+ 2^n-1 = 2ⁿ,即證成立。
那爲啥加上2^n-1，這是因爲已經存在2^n-1個狀態集合，按照上述舉例的規律，每一個都增加的一個元素即可，狀態數目翻倍。
個人理解是因爲加入q0一共是n+1個狀態元素，最大可能有2ⁿ⁺¹個組合的狀態集合。