《計算幾何》01.Convex Hull

Convex Hull

Divide-and-conquer

Merge

將大問題分解成小問題，最後進行合併。

Common Kernel

和歸併排序一樣，我們將點分成兩個子集，分別求凸包，問題就變成了如何將兩個凸包合併。

如何將兩個凸包處理成星形多邊形？

爲了找到Star-shape-polygon，我們要找到兩個多邊形相交的公共的點，那麼兩個多邊形相交會出現什麼情況呢?

如上圖所示，如$s_1$，是比較理想的情況，我們很容易找到公共點，對於$s_2$，找到公共點的可能就會小很多。

更壞的情況，例如$s_3$，我們甚至無法找到兩個凸包的公共點，那麼如何處理呢?

Interior

對於一個凸包來說，我們如何找到一個點使得這個點在凸包的內部呢？

我們可以選擇凸包上任意三個點，選擇這三個點組成的三角形的重心即可，計算複雜度爲常數時間。

那麼我們現在判斷選出的內點是否在另一個凸包的內部，如果是：

可以發現兩個凸包分別對於內點成一個環形的有序序列（圖中黃色和藍色的直線），則問題變成了經典的環形歸併。歸併之後再次進行Graham-Scan即可。

那麼如何判斷所選內點是否在另一個多邊形內部呢?

In-Convex-polygon-Test。但凸包是動態的，所以要用n次To-Left-Test:

幸運的是，$O(n)$次TLT並不會影響整體算法的複雜度，因爲我們可以將這$n$次操作都可以納入Merge的過程中。

Exterior

接下來我們討論下一種情況，所選內點落在另一個子凸包的外側。

如圖所示，我們可以找出圖中$s,t$ 兩個切點，找到$st和ts$ 兩個線段。同理，$ts$線段在總凸包中沒有貢獻。

那麼我們可以得到了一個環形有序序列和一個線性有序序列，進行歸併，再次Graham-Scan。

Divide-and-conquer (2)

Preprocessing

歸併算法我們可以看到，有些過於複雜。對於兩個圖包：

如果他們沿着水平方向是可分割的，彼此獨立，那麼合併就非常的簡單。

將點集中的座標按x軸排序，取中點分割即可，那麼我們關注的就是兩個凸包中的兩對點$l,r$。

Common Tangents

找到兩個凸包的公切線(Common Tangents)。那麼如何找這兩個凸包的公切線呢？問題可能很複雜：

我們從$r$和$l$開始：

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-qGCTI8Y5-1584153950700)(C:\Users\szx74\Desktop\Blog\計算幾何\image-20200314100712514.png)]

先將兩個點連起來，那麼恩麼找到這兩個點呢？我們在從最開始從下向上歸併的過程中，記下每個凸包的$l,r$即可。

接下來我們思考連接了$r,l$之後的動作。

對於每次固定的$r$，找到最優的右側的$l$，使得$l$兩側的點都在它的同一側，這樣我們就得到了局部最優的$l$，那麼我們反觀之前固定的$r$，同樣的方法找到局部最優的$r$，再反觀$l$，反覆進行，直到保證$r,l$兩個點都爲最優，既兩個點的臨點皆再他們的同一側，這樣我們就找到了一條切線。時間複雜度爲$O(n+m)$。