材料力學
圓軸扭轉、非圓截面扭轉、開口薄壁杆件扭轉、閉口薄壁杆件扭轉
圓軸的塑性扭轉
1.非圓截面扭轉
矩形梁進行扭轉，邊緣處有最大切應力。在邊緣上，最大切應力位於長邊的中點處。
短邊處的最大切應力τ1與長邊處的最大切應力τ2都位於他們的中點處，但後者大於前者。
當h/b > 10爲狹長矩形，τ max = T/(h*δ**2/3)，φ = TL/(G*h*δ**3/3)，實際上可視作長邊上的切應力相等，都等於τ1，短邊上的切應力相等，都等於τ2，只有在四個點附近才迅速減小爲0
2.開口薄壁杆件的自由扭轉
沿用上一節的狹長矩形的推論。
槽鋼、工字鋼
可以將上圖分解爲三個矩形，那麼It= (h1*δ1**3+h2*δ2**3+h3*δ3**3)/3 h爲長邊，δ爲短邊
注：It爲抗扭慣性矩，而圓截面的抗扭慣性矩It等於極慣性矩Ip。
一般，工字鋼是有圓角的，翼緣內測也不是直邊而是有斜率的，所以需要引入修正係數來計算It=1.2*(h1*δ1**3+h2*δ2**3+h3*δ3**3)/3 ，不同截面的鋼有不同的修正係數。
每個矩形上的的扭轉切應力分別爲： τ1 = T*δ1/It τ2 = T*δ2/It τ3 = T*δ3/It
所以，τ_max = max(τ1,τ2,τ3)
如何繪製邊緣處的切應力方向？
則分別畫出每個矩形部分的切應力，組合起來便是下圖。這只是邊緣處的切應力，內部的切應力並未畫出。
如下圖所示，壁厚中線爲曲線的開口薄壁杆件，可以將其截面展直，作爲狹長矩形截面來處理。
3.閉口薄壁杆件的自由扭轉
上圖是一個橢圓單孔管狀杆件的截面。
對於該問題認爲沿壁厚δ，剪應力τ均勻分佈。
t = τ*δ，t稱爲剪力流
截面上的扭矩與剪應力的關係：T = 2t*w = 2τ*δ*w w爲截面壁厚中線所圍的面積，即如果是圓環，那麼w = Pi*(R2**2 - R1**2)
那麼τ max = T/(2*w*δmin)
什麼是自由扭轉？
擰毛巾，兩端同時施加一個反方向的扭矩，這叫自由扭轉。即在杆件兩端施加力偶扭矩，稱爲自由扭轉。
T爲橫截面上的扭矩，Me爲外力偶扭矩，自由扭轉時每個橫截面上 T=Me
還有約束扭轉，擰毛巾，一端固定不動，一端施加扭矩。
約束扭轉與自由扭轉相比，橫截面上還會產生正應力，即約束扭轉會使得杆件彎曲。
橫截面爲實心矩形，實心橢圓的一些杆件，正應力很小，此時約束扭轉可視作自由扭轉。
4. 圓軸的塑性扭轉
邊緣處有最大應力。隨着扭矩的增加，當最大應力達到剪切屈服極限，則邊緣處被屈服，且其應力不會變化保持爲τs。扭矩繼續增加，屈服面往裏擴散，且上面的應力保持爲τs。最終整個圓軸面被屈服(除圓心處很小的區域外)，此時的扭矩稱爲極限扭矩，此時的狀態被稱爲極限狀態。
邊緣開始屈服的扭矩爲T1，極限狀態時的扭矩爲T2，T2 = T1*1/3 + T1
此時圓軸喪失了該扭矩轉向的承載能力。當扭矩不再增大，變形卻持續增大。即T2爲單方向的極限承載力矩。
但是圓軸在扭矩轉向的反方向卻並沒有喪失承載能力。
以上討論4個方面都是自由扭轉。
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彈性力學
等截面直杆的扭轉，橢圓截面杆的扭轉、矩形截面杆的扭轉
屬於空間問題，彈性力學求解問題就是應力，應變，位移三種變量列出的方程：平衡方程，物理方程，幾何方程，再加上邊界條件來求解問題。同時還引入一個應力函數Φ
薄膜比擬
彈性力學與材料力學在扭轉問題中都提到了薄膜比擬。
比擬法包括薄膜比擬等，兩種物理現象的微分方程形式相同，則可研究其中較易觀測試驗的物理現象，模擬另—種難以觀測試驗的物理現象，使試驗工作大爲簡化。薄膜比擬由普朗克提出。研究薄膜的受壓來得出杆件的彎曲，扭轉。
普朗克
馬克斯·普朗克：量子力學
路德維希·普朗特：近代力學奠基人，學生有von karmann
普朗特讓一個博士設計一個水槽，使能觀察到圓柱體後面的流動分裂，用實驗來覈對按邊界層理論計算出來的分裂點，卻沒想到出現了圓柱振動。最後von karmann對這個問題很感興趣，就三星期寫出來兩篇論文。