【Comet OJ - Contest #16 G】小 C 的奇妙序列（組合數學 / DP）

傳送門

首先記一下$k=2$的一個做法

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就是求平方的期望
一個想法是直接期望$DP$
考慮$E(a_n^2)$
考慮求$E((\sum_{i=1}^na_i)^2)$
拆開後是要求$E(a_i^2),E((\sum_{i=1}^{n-1}a_i)^2)$
$E((sum+a_n)^2)=E(sum^2)+E(a_n^2)+2E(a_n*sum)$
但是問題是$a_n$與$sum$相關
不能拆成$E(a_n)*E(sum)$
但是實際有$a_n=sum*2/n$
於是後面可以看做$E(sum^2)*2/n$
不知道能不能類似的做$k$更大的時候

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正解考慮組合意義
可以看做每個點隨機向前面連$k$條邊
然後有$k$條帶標號流量走
問方案數

考慮實際只用考慮哪些流量在一個邊上
發現並不需要在意具體哪些
只需要弄一個劃分數
另外發現兩個點之間轉移可以分成兩步
先把在上一個點的拆開
再把所有的選一些合併

而且這兩步是對稱的就可以很方便的寫了

最後再除以總方案數即可
（感覺就在瞎口胡）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define cs const
#define re register
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define bg begin
#define mp make_pair
cs int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ib==ob)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return (ib==ob)?EOF:*ib++;
}
inline int read(){
    char ch=gc();
    int res=0;bool f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
inline ll readll(){
    char ch=gc();
    ll res=0;bool f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
inline int readstring(char *s){
	int top=0;char ch=gc();
	while(isspace(ch))ch=gc();
	while(!isspace(ch)&&ch!=EOF)s[++top]=ch,ch=gc();
	return top;
}
template<typename tp>inline void chemx(tp &a,tp b){a<b?a=b:0;}
template<typename tp>inline void chemn(tp &a,tp b){a>b?a=b:0;}
cs int mod=998244353;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?(a-mod):a;}
inline int dec(int a,int b){a-=b;return a+(a>>31&mod);}
inline int mul(int a,int b){static ll r;r=1ll*a*b;return (r>=mod)?(r%mod):r;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?(a-=mod):0;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b,a+=a>>31&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){static ll r;r=1ll*a*b;a=(r>=mod)?(r%mod):r;}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){if(a==0&&b==0)return 0;for(;b;b>>=1,Mul(a,a))(b&1)&&(Mul(res,a),1);return res;}
inline int Inv(int x){return ksm(x,mod-2);}
inline int fix(int x){return (x<0)?x+mod:x;}
int fac[11],ifac[11],C[11][11],visx[11],visy[11],pw[11];
typedef vector<int> poly;
vector<poly> p[11];
poly now;
map<pair<poly,int>,int>id1;
map<poly,int>id2;
int f[301],g[301],tot1,tot2;
int n,K;
void dfs(int res,int idx,int mx){
	if(!res){p[idx].pb(now);}
	for(int i=mx;i<=res;i++)
	now.pb(i),dfs(res-i,idx,i),now.pop_back();
}
vector<pii>e1[301];
vector<pair<pii,int>>e2[301];
inline void link(int v1,int v2,cs poly &x,cs poly &y){
	int c1=1,c2=1;
	memset(visx,0,sizeof(visx)),memset(visy,0,sizeof(visy));
	poly al;
	for(int v:x)visx[v]++,al.pb(v);
	for(int v:y){
		Mul(c1,C[v2][v]),v2-=v;
		al.pb(v),visy[v]++;
	}
	for(int i=1;i<=K;i++)
	Mul(c2,C[visx[i]+visy[i]][visy[i]]),Mul(c1,ifac[visy[i]]);
	sort(al.bg(),al.end());
	int u=id1[mp(x,v1)],v=id2[al];
	e1[u].pb(pii(v,c1)),e2[v].pb(mp(pii(u,mul(C[K][y.size()],mul(fac[y.size()],c2))),K-y.size()));
}
inline void init(){
	for(int i=0;i<=K;i++){
		dfs(i,i,1);
		for(poly &x:p[i])id1[mp(x,i)]=++tot1;
	}
	for(poly &x:p[K])id2[x]=++tot2;
	for(int i=0;i<=K;i++)
	for(poly &x:p[i])
	for(poly &y:p[K-i])link(i,K-i,x,y);
}
int main(){
	#ifdef Stargazer
	freopen("lx.in","r",stdin);
	#endif
	n=read(),K=read();
	for(int i=0;i<=10;i++){
		C[i][0]=C[i][i]=1;
		for(int j=1;j<i;j++)C[i][j]=add(C[i-1][j],C[i-1][j-1]);
	}fac[0]=pw[0]=ifac[0]=1;
	for(int i=1;i<=10;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i),ifac[i]=Inv(fac[i]);
	init();//cout<<tot1<<" "<<tot2<<" "<<clock()<<'\n';
	f[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=tot1;j++)if(f[j])
		for(pii &x:e1[j]){
			Add(g[x.fi],mul(f[j],x.se));
		}
		memset(f,0,sizeof(int)*(tot1+1));
		for(int j=1;j<=K;j++)pw[j]=mul(pw[j-1],i);
		for(int j=1;j<=tot2;j++)if(g[j])
		for(pair<pii,int> &x:e2[j]){
			Add(f[x.fi.fi],mul(g[j],mul(x.fi.se,pw[x.se])));
		}
		memset(g,0,sizeof(int)*(tot2+1));
	}
	int mt=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)Mul(mt,i);
	cout<<mul(f[1],ksm(Inv(mt),K))<<'\n';
	return 0;
}