【題解】CF808G Anthem of Berland

題意

傳送門 luogu

題解

dp與kmp的巧妙結合。

設文本串s長度爲$n$，模式串t長度爲$m$。題面中赤裸裸地告訴你$nm\leq 10^7$，這就擺明了複雜度應該在$O(nm)$這個級別，這個$n$的複雜度肯定是掃一遍s，至於$m$，可以猜想是對於s的每個位置進行暴力的匹配。

我們可以考慮用dp來解決這個問題。設$f_i$表示t在s的前$i$個位置最大的出現次數。那麼如果一個位置想從之前的位置轉移過來，就必須滿足t能在這個位置與s匹配，這一部分可以$O(m)$暴力判斷。

具體怎麼轉移呢？首先很明顯可以直接從$f_{i-m}$轉移過來，表示$i-m+1\sim i$這段放一個完整的t。

但是這還不夠，因爲有可能在這個位置之前連續而重疊地放了好幾個t，也就意味着新放進去地這個t並不是完整地，而是和上一個t的後綴重疊構成的。那麼這就需要滿足t的一段後綴和一段前綴相等。

這就令我們想到了kmp算法中的next數組。我們可以通過從m開始一直跳next，來保證前綴與後綴相等。

但是又有一個問題，假設我們現在長度爲$k$的前後綴相等，我們卻不能直接從$f_{i-(m-k)}$轉移，因爲$f$的定義並不能保證$f_{i-(m-k)}$這個位置上一定放了t。

所以我們再定義一個$g_i$，表示s的前$i$個位置，強制最後放一個t的最大出現次數。那麼這樣我們上面的情況就可以通過$g$之間的轉移來實現了。即$g_i=\max\{g_{i-(m-k)}+1,g_i\}$，一直跳next更新即可。

轉移完$g$之後，我們再令$f_i=\max\{f_{i-1}, g_i\}$，也就是考慮放和不放t兩種情況。

代碼

#include <bits/stdc++.h>
#define MAX 100005
using namespace std;

char s[MAX], t[MAX];
int n, m;
int Next[MAX], f[MAX], g[MAX];

bool chk(int p){
    for(int j = 1; j <= m; j++){
        if(s[p-j+1] != t[m-j+1] && s[p-j+1] != '?') return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    scanf("%s%s", s+1, t+1);
    n = strlen(s+1), m = strlen(t+1);
    for(int i = 2, j = 0; i <= m; i++){
        while(j && t[j+1] != t[i]) j = Next[j];
        if(t[j+1] == t[i]) j++;
        Next[i] = j;
    }

    for(int i = 1; i <= n; i++){
        f[i] = f[i-1];
        if(chk(i)){
            g[i] = f[i-m]+1;
            for(int j = Next[m]; j; j = Next[j]){
                g[i] = max(g[i], g[i-(m-j)]+1);
            }
            f[i] = max(f[i], g[i]);
        }
    }
    cout << f[n] << endl;

    return 0;
}