04算法-快速排序（深入分析）

abstract

本文是對快速排序算法的深入分析，主要講解了快速排序算法的基本原理，時間複雜度分析以及如何去改進的快排算法，本文提供快排的僞代碼，以及用Golang實現的具體代碼。
這裏補充一下一般算法設計的思路，首先根據問題分析建模，設計最初版本的代碼，分析代碼的running time，然後找到問題所在，解決問題。這樣的。

the idea of algorithm

快速排序算法是典型的使用分治法設計的算法，算法主要分爲：
divide：key這是快排的關鍵，
conquer：recursive sort 2 part
combine：這部分不做什麼，因爲快排不像merge sort沒有消耗而外的空間
實現快排的關鍵就是在線性的時間，完成對子數組的分割

common quick sorting

我們先開快排的僞代碼

//其中分割函數
partition(A, p, q)
	X <- A[p]  
	curr <- p
	for j <- p+1 to q
		do if A[j] <= X 
			then curr <- curr+1
				exch A[curr] A[j]
	exch A[p] A[curr]
	return curr

//對於combine部分
quickSort(A, p, q)
	if p < q then
		mid <- partion(A, p, q)
		quickSort(A, p, mid-1)
		quickSort(A, mid+1, q)

使用GO實現的代碼如圖所示：

func partition(A []int, left, right int)  int{
	midNum := A[left]
	startFLag := left
	for i := left+1; i <=right; i++{
		if A[i] <= midNum{
			startFLag++
			A[i], A[startFLag] = A[startFLag], A[i]
		}
	}
	A[left], A[startFLag] = A[startFLag], A[left]
	return startFLag
}

func QuickSort(A []int, left

 - [ ] List item

, right int)  {
	if right > left{
		mid := partition(A, left, right)
		QuickSort(A, left, mid-1)
		QuickSort(A, mid+1, right)
	}
}

下面說一下時間複雜度

上述算法的運行時間是取決於輸入數據的情況。
我們來考慮==最好的情況（卵用沒有）==假設每次選擇的數據都會置換到當前數據段的中心，那遞歸公式爲$T(n)= 2T(n/2)+\Theta(n)$ 所以其running time爲$\Theta(nlgn)$
我們考慮最壞的情況，每次置換過後的位置都是$left+1$，那遞歸公式就是$T(n)=T(0)+T(n-1)+\Theta(n)$所以其running time爲$\Theta(n^2)$
對於一個普通的情況，一般會偏向於好的情況一點，但是這種程度的算法是達不到實際使用需求的。

rand quick sorting

考慮到上面的問題，我們需要改進快速排序算法，其中最容易想到的是：將挑選的元素隨機話。

func randPartition(A []int, left, right int)  int{
	key := int(rand.Int63n(int64(right-left))) + left
	A[left], A[key] = A[key], A[left]

	midNum := A[left]
	startFLag := left
	for i := left+1; i <=right; i++{
		if A[i] <= midNum{
			startFLag++
			A[i], A[startFLag] = A[startFLag], A[i]
		}
	}
	A[left], A[startFLag] = A[startFLag], A[left]
	return startFLag
}

其中隨機話處理的代碼如上所示。這樣處理能夠帶來什麼樣的好處了。這樣能保證算法的$running\ time <= anlgn$
下面是純數學分析，如果不想了解太深，完全沒有必要看
在證明上面的結論上，需要使用到一個定律$\sum_{k=2}^{n-1}klgk<={\frac 12}n^2lgn-{\frac 18}n^2$
首先定義了一個這樣的概率分佈函數$x_k=1(if\ there\ is\ a\ partition\ k:n-k-1)\ and\ x_k = 0(other)$
對於T(n)這個函數，它的表現形式就可以寫成$T(n)=\sum_{k=2}^{n-1}{x_k\{T(k)+T(n-k-1)+\Theta(n)\}}$式中可以不考慮k=0和1的情況。
根據獨立分佈的特性可以推導爲$E(T(n))={\frac 2n}\sum_{k=2}^{n-1}{\{T(k)+\Theta(n)\}}$
即$E(T(n))={\frac 2n}\sum_{k=2}^{n-1}T(k)+\Theta(n)$
再用代換法加上上面給出的定理來證明：
假設$<={\frac 2n}\sum_{k=2}^{n-1}aklgk+\Theta(n)$
$<={\frac {2a}n}({\frac 12}n^2lgn-{\frac 18}n^2)+\Theta(n)$
$<=anlgn -{\frac a4}n+\Theta(n)$
so when ${\frac a4}n>\Theta(n)$, the next is proved
$<=anlgn$