線性代數知識彙總

原創

2020-03-16 20:04

1. 線性代數知識圖譜

線性代數是代數學的一個分支，主要處理線性關係問題。線性關係意即數學對象之間的關係是以一次形式來表達的。例如，在解析幾何裏，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視爲兩個平面相交，由兩個三元一次方程所組成的方程組來表示。含有 n個未知量的一次方程稱爲線性方程。變於關量是一次的函數稱爲線性函數。線性關係問題簡稱線性問題。解線性方程組的問題是最簡單的線性問題。

線性（linear）指量與量之間按比例、成直線的關係，在數學上可以理解爲一階導數爲常數的函數

非線性（non-linear）則指不按比例、不成直線的關係，一階導數不爲常數。

行列式非零 $\Leftrightarrow$ 矩陣可逆 $\Leftrightarrow$ 方陣滿秩 $\Leftrightarrow$ 向量組滿秩（向量個數等於維數）。

2. 行列式

2.1 定義

矩陣的行列式，determinate（簡稱det），是基於矩陣所包含的行列數據計算得到的一個標量。是爲求解線性方程組而引入的。

2.2 二階行列式

計算方式：對角線法則

2.3 三階行列式

計算方式：對角線法則

2.4 n階行列式

2.4.1 計算排列的逆序數

2.4.2 計算n階行列式

2.4.3 簡化計算總結

2.4.4 行列式的3種表示方法

2.5 行列式的性質

性質1 行列式與它的轉置行列式相等
注：行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立.

性質2 互換行列式的兩行（列）,行列式變號
推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式爲零

性質3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數k，等於用數k乘以此行列式.
推論行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．

性質4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式爲零．

性質5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和,則等於對應的兩個行列式之和.

性質6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數然後加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變．

2.6 計算行列式的方法

1）利用定義
2）利用性質把行列式化爲上三角形行列式，從而算得行列式的值

定理中包含着三個結論：
1）方程組有解；（解的存在性）
2）解是唯一的；（解的唯一性）
3）解可以由公式(2)給出.

定理4 如果線性方程組(1)的係數行列式不等於零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的 .
定理4′ 如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的係數行列式必爲零.

齊次線性方程組的相關定理
定理5 如果齊次線性方程組的係數行列式D不等於0，則齊次線性方程組只有零解，沒有非零解.
定理5′ 如果齊次線性方程組有非零解,則它的係數行列式必爲零.

1. 用克拉默法則解線性方程組的兩個條件
1) 方程個數等於未知量個數；
2) 係數行列式不等於零.

2. 克拉默法則的意義主要在於建立了線性方程組的解和已知的係數以及常數項之間的關係．它主要適用於理論推導．

2.8 行列式按行(列)展開

對角線法則只適用於二階與三階行列式.
本節主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式.

3. 矩陣

3.1 矩陣的定義

3.1.1 矩陣與行列式的區別

3.2 特殊矩陣

3.3 矩陣與線性變換

3.4 矩陣的運算

3.4.1 矩陣的加法

行列式與矩陣加法的比較：

3.4.2 數乘矩陣

3.4.3 矩陣與矩陣相乘

3.4.4 矩陣的轉置

反對稱矩陣(skew symmetric matrix)

3.4.5 方陣的行列式

3.4.6 伴隨矩陣

3.4.7 共軛矩陣

3.5 可逆矩陣(或稱非奇異矩陣)

3.6 矩陣分塊法

分塊矩陣不僅形式上進行轉置，而且每一個子塊也進行轉置．

4. 矩陣的初等變換與線性方程組

4.1 矩陣的初等變換

4.2 矩陣之間的等價關係

4.3 初等變換與矩陣乘法的關係

4.4 矩陣的秩

4.5 線性方程組的多解

4. 向量組的線性相關性

4.1 向量組及其線性組合

4.2 向量組的線性相關性

4.3 向量組的秩

結論：矩陣的最高階非零子式一般不是唯一的，但矩陣的秩是唯一的．

4.4 線性方程組的解的結構

問題：什麼是線性方程組的解的結構？

答：所謂線性方程組的解的結構，就是當線性方程組有無限多個解時，解與解之間的相互關係．

備註：
1）當方程組存在唯一解時，無須討論解的結構．
2）下面的討論都是假設線性方程組有解．

4.5 向量空間

4.5.1 封閉的概念

定義：所謂封閉，是指集合中任意兩個元素作某一運算得到的結果仍屬於該集合．

4.5.2 向量空間的概念

定義：設 V 是 n 維向量的集合，如果
① 集合 V 非空，
② 集合 V 對於向量的加法和乘數兩種運算封閉，
具體地說，就是：
若 a ∈ V， b ∈ V，則a + b ∈ V ．（對加法封閉）
若 a ∈ V， l ∈ R，則 l a ∈ V ．（對乘數封閉）
那麼就稱集合 V 爲向量空間．