【动态规划】01揹包问题

01揹包问题

参考：
[https://blog.csdn.net/qq_38410730/article/details/81667885]
[https://www.cnblogs.com/arsenalfaninecnu/p/8945548.html]）

什么是01揹包问题？

01揹包问题描述：有编号分别为a,b,c,d的N=4件物品，它们的重量w分别是2,3，4,5，它们的价值v分别是3,4，5,6，每件物品数量只有一个，现在给你个承重为M=8的揹包，如何让揹包里装入的物品具有最大的价值总和？总和是多少？

解题思路

结题思路是把该问题分解为一个一个的小问题，一步步的通过小问题的最优解，最终得到大问题的最优解。在这个问题中有两个维度的变量，一是揹包的容量M，二是物品的种类数N，假如M=1，只有一种物品 a，最优解是什么，有a,b两种物品是最优解是什么？以此类推。

状态转移方程怎么列？

1.首先，当物品种类N一定时，揹包容量越大，那么最后的结果一定大于等于原来的值
2.其次，当揹包容量M一定时，物品种类N越多，最后的记过一定大于等于原来的值。
3.那么，也就是说，我们想要求取的最大值也即是当M和N最大的时候的值。

假如当前有a和b两种，M=1时，考虑a是否能够放入，取得最大值，然后考虑a和b是否能放入，最终的情况可能只有a,或只有b或者ab都有。
对于b来说：

判断b能否单独放进揹包：
—如果不能，那么备选为a,b时最大值，等于备选只有a时的最大值（因为b是放不进揹包的）。
—如果能，即b能够放进去，还有两种可能（即将b放进揹包，和不将b放进揹包），对这两种可能性，要取最大值：
---------最终将b放进去(注：此时物品a是否被放进揹包是未知的，原因是：剩余的揹包容量可能不足以放进物品a，即要在剩余可选物品里找出最优解。
---------最终没有将b放进去（因为后面可能有比b更合适的物品放进去），此时最大值等于备选只有a时的最大值
引自原文

简单来说我们要思考的是第i个物品是否放进揹包
c++代码如下：

if(j>=w[i]) 
    dp[i][j]=max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i],dp[i-1][j]);
    //dp[i][j]存储i个物品，容量为j时的最大值
else dp[i][j]=dp[i-1][j];

解题代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int m,n;//n是物品种类数，m是揹包容量 
int w[100],v[100]; 
long long dp[100][100];
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i]>>v[i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++)
	{
		if(j>=w[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i],dp[i-1][j]);
		else dp[i][j]=dp[i-1][j];
	}
	//上面的代码可以计算出最值，输出动态规划表
	for(int i=1;i<=n;i++){
	    for(int j=1;j<=m;j++)
	        cout<<dp[i][j]<<" ";
	    cout<<endl;
	} 
   cout<<dp[n][m];
	
	return 0;
}
 

回溯最优解

求出最大值后我们还要找出最后那几个物品被放进了揹包，用回溯的方法来寻找最后解，思路如下
首先，判断dp[i][j]与dp[i-1][j-w[i]]+v[i]是否相等：
– 如果相等，则说明第i个物品没有放进揹包，则继续回溯(i-1,j)；、
– 否则就是进了揹包，则回溯到(i-1,j-w[i])
定义函数如下：

void findMax(int i,int j){
	 
	if(i>=0){
		if(dp[i][j]==dp[i-1][j]){
			//如果满足这个条件，说明第i个没有放进揹包 
			item[i]=0;
			//那么就回溯到i-1,j 
			findMax(i-1,j);
		}	
	    else if(j-w[i]>=0 && dp[i][j]==dp[i-1][j-w[i]]+v[i])
	   {
	     	item[i]=1;
	        //如果放进揹包就回溯到下面 
	        findMax(i-1,j-w[i]);
     	}
	}

完整代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int m,n;//n是物品种类数，m是揹包容量 
int w[100],v[100];
int item[100];//标记是否被选中 
long long dp[100][100];
//回溯最优解
void findMax(int i,int j){
	 
	if(i>=0){
		if(dp[i][j]==dp[i-1][j]){
			//如果满足这个条件，说明第i个没有放进揹包 
			item[i]=0;
			//那么就回溯到i-1,j 
			findMax(i-1,j);
		}
	    else if(j-w[i]>=0 && dp[i][j]==dp[i-1][j-w[i]]+v[i])
	   {
	     	item[i]=1;
	        //如果放进揹包就回溯到下面 
	        findMax(i-1,j-w[i]);
     	}
	}
	//一直遍历直到i=0为止 
} 
int main(){	
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i]>>v[i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++)
	{
		if(j>=w[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i],dp[i-1][j]);
		else dp[i][j]=dp[i-1][j];
	}
	//上面的代码可以计算出最值，输出动态规划表
	for(int i=1;i<=n;i++){
	    for(int j=1;j<=m;j++)
	        cout<<dp[i][j]<<" ";
	    cout<<endl;
	} 
	//寻找最优解并输出 
	findMax(n,m); 
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<item[i]<<"  ";
	return 0;
}