【Atcoder agc034 F】RNG and XOR（FWT）

傳送門
設$m=2^n-1$
顯然可以得到
$\forall i>0$
$f[i]=1+\sum_{j}f[i\oplus j]p[j]$
$f[i]-1=\sum_{j=0}^{m}f[i\oplus j]p[j]$
這是一個異或卷積
即
$[f_0,f_1....f_m]\bigoplus[p_0,p_1...p_m]=[?,f_1-1,f_2-1....f_m-1]$
由於考慮到$\sum p=1$
所以卷積前後的和應該是不變的
也就是$?=f_0+m$
再考慮將$p_0=p_0-1$
那麼異或卷積後的函數就變成了$[m,-1,-1,....-1]$
設這個數組爲$g$
再考慮做異或卷積除法還原原數組
$fwt$之後$f'=$$g'$乘上$p'$的逆元
再$ifwt$即可

但是問題在於可以知道$fwt$之後$g'_0,p'_0$都是$0$，沒法求逆元
但是可以知道$f_0=0$
於是可以先假設$f'_0=0，ifwt$回去之後，若$f_0=-x$
按照$fwt$的定義，就是$f'_0$少算了$x$
於是所有全部加上$x$即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define cs const
#define re register
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define bg begin
cs int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ib==ob)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return (ib==ob)?EOF:*ib++;
}
inline int read(){
    char ch=gc();
    int res=0;bool f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
inline ll readll(){
    char ch=gc();
    ll res=0;bool f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
inline int readstring(char *s){
	int top=0;char ch=gc();
	while(isspace(ch))ch=gc();
	while(!isspace(ch)&&ch!=EOF)s[++top]=ch,ch=gc();
	return top;
}
template<typename tp>inline void chemx(tp &a,tp b){a<b?a=b:0;}
template<typename tp>inline void chemn(tp &a,tp b){a>b?a=b:0;}
cs int mod=998244353;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?(a-mod):a;}
inline int dec(int a,int b){a-=b;return a+(a>>31&mod);}
inline int mul(int a,int b){static ll r;r=1ll*a*b;return (r>=mod)?(r%mod):r;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?(a-=mod):0;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b,a+=a>>31&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){static ll r;r=1ll*a*b;a=(r>=mod)?(r%mod):r;}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){if(a==0&&b==0)return 0;for(;b;b>>=1,Mul(a,a))(b&1)&&(Mul(res,a),1);return res;}
inline int Inv(int x){return ksm(x,mod-2);}
inline int fix(ll x){return x%=mod,(x<0)?x+mod:x;}
cs int N=19,M=(1<<N)|1;
int f[M],p[M],n,m,s;
inline void fwt(int *f,int lim,int kd){
	for(int mid=1,a0,a1;mid<lim;mid<<=1)
	for(int i=0;i<lim;i+=mid<<1)
	for(int j=0;j<mid;j++)
	a0=f[i+j],a1=f[i+j+mid],f[i+j]=add(a0,a1),f[i+j+mid]=dec(a0,a1);
	if(kd==-1)
	for(int i=0,iv=Inv(lim);i<lim;i++)Mul(f[i],iv);
}
int main(){
	#ifdef Stargazer
	freopen("lx.in","r",stdin);
	#endif
	n=read(),m=1<<n;
	for(int i=0;i<m;i++){
		p[i]=read(),Add(s,p[i]);
	}s=Inv(s);
	for(int i=0;i<m;i++)Mul(p[i],s);
	Dec(p[0],1),f[0]=m-1;
	for(int i=1;i<m;i++)f[i]=mod-1;
	fwt(f,m,1),fwt(p,m,1);
	for(int i=1;i<m;i++)Mul(f[i],Inv(p[i]));
	f[0]=0,fwt(f,m,-1);
	for(int i=0;i<m;i++)cout<<dec(f[i],f[0])<<"\n";
	return 0;
}