題目如下：
有 N 件物品和一個容量是 V 的揹包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的體積是 vi，價值是 wi。
求解將哪些物品裝入揹包，可使這些物品的總體積不超過揹包容量，且總價值最大。
輸出最大價值。
輸入格式
第一行兩個整數，N，V，用空格隔開，分別表示物品數量和揹包容積。
接下來有 N 行，每行兩個整數 vi,wi，用空格隔開，分別表示第 i 件物品的體積和價值。
輸出格式
輸出一個整數，表示最大價值。
數據範圍
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
輸入樣例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
輸出樣例：
8
需要輸入：
- 物品數量 n，最大容量v
- （n行）每個物品的體積、質量
申請空間：
- int n, v
- int vx[] 各個物品的體積
- int m[] 各個物品的質量
- int f[][] 各個狀態下的最大質量
首先列出這三種情況：
- f[ i ] [ j ] 表示爲前 i 個物品，在體積不超過 j 的前提下的最大質量
- f[ i ][ j ] 表示爲前 i 個物品，在體積恰好等於 j 的前提下的最大質量
- f[ i ][ j ] 表示爲前 i 個物品，在體積剩餘 j 的前提下的最大質量
不超過j
關鍵性代碼
for(int i = 1; i <= n; i++ ){//前i個
for(int j = 0; j <= v; j++ ){
f[i][j] = f[i - 1][j];//不選第i個物品
if(j >= vx[i])//此時存在一個體積不超過 j-vx[i] ，如果在加上v[i]則纔是，體積不超過j
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - vx[i]] + m[i]);//爲啥是j-vx[i]，是因爲當選擇了第i個商品，
//此時的f[i][j]爲：選擇前i件，體積不超過j的最大質量（而這個質量又由 f[i-1][j - vx[i] 的最大質量 + m[i]得到）
}
}
最重要的其實是這一塊
if(j >= vx[i])
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - vx[i]] + m[i]);
- f[ i ][ j ] ：不選擇第 i 個物品時的最大質量 （因爲 if 之前已經賦值了）
- f[ i-1] [ j-vx[i] ] ：不選第 i 個物品時的最大質量，且此時體積不超過 j - vx[i]（這裏要不超過是因爲，加上 vx[ i ]後就滿足不超過 j ）
- f[ i-1] [ j-vx[i] ] + w[ i ] 爲選擇第 i 個物品時，體積不超過 j 的最大質量
有人可能還不理解，舉個例子：
f [3][5] = max(f[2][5], f[2][5-vx[3]] + m[3])
解釋 f [2][ 5 - vx[3] ] + m[ 3 ] ：
- f [2][5 - vx[3]]：在前2件物品中選擇，且體積不超過 5 - vx[3] 時的最大質量。
- f [2][ 5 - vx[3] ] + m[3] ：在前2件物品中選擇，且體積不超過 5 - vx[3] 時的最大質量，此時再加上 第3件物品的質量（這樣得到的就是，在前3件物品的選擇下 （此時是選擇了第三件物品） 體積不超過 5 的最大質量）
輸出答案： f[ n ][ v ]（無須遍歷求max）
恰好等於
在恰好等於這個情況中，它的式子跟不超過時的情況是一樣的，唯一不同的有兩點：
for(int i = 1; i <= n; i++ ){//前i個，此時從第2個開始
for(int j = 0; j <= v; j++ ){//此時的體積
f[i][j] = f[i - 1][j];//不選第i個物品
if(j >= vx[i] && (j == vx[i] || f[i][j-vx[i]] != 0))
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - vx[i]] + m[i]);//爲啥是j-vx[i]，是因爲當選擇了第i個商品，
//需要當不選 i 的時候，體積有能容納 i（才需要j>=vx[i]）
}
}
- 判斷不同：
if(j >= vx[i] && (j == vx[i] || f[i][j-vx[i]] != 0))
解釋：
j >= vx[ i ]： 防止後面的數組越界
f[ i ][ j - vx[ i ] ] != 0 ：如果等於零，證明能湊出這個體積的最大質量沒有（如果不等於0，證明存在湊出體積爲 j - vx[ i ] 的最大質量）
j == vx[ i ] ： 就是自己的體積正好是 j ，而湊出體積爲0的最大質量就爲0
-
輸出不同：
輸出的答案去要取 f[ n ][0 ~ v] 中的最大值，因爲不一定最大質量就是佔的最大體積。
剩餘空間
關鍵代碼
for(int i = 1; i <= n; i++ ){//前i個
for(int j = 0; j <= v; j++ ){//此時剩餘體積爲j
f[i][j] = f[i - 1][j];//不選第i個物品
if(j + vx[i] <= v)//防止越界
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j + vx[i]] + m[i]);//爲啥是j+vx[i]，是因爲當選擇了第i個商品，
//此時的剩餘體積肯定是減少的，考慮i的體積爲2，比如求剩餘體積爲7的，那麼一定是從剩餘體積爲9變化過來的
}
}
if(j + vx[i] <= v)//防止越界
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j + vx[i]] + m[i]);
解釋：爲啥是 j+vx[i]，是因爲當選擇了第 i 個商品，此時的剩餘體積肯定是減少的，設考慮 i 的體積爲 2，比如求剩餘體積爲7的，那麼一定是從剩餘體積爲9變化過來的
f[ i ][ 7 ] = max(f[ i ][ 7 ]，f[ i -1][ 7 + 2] + m[ i ]
所以就是剩餘空間爲7 的時候的最大質量，是由剩餘空間爲 9 的最大質量加上 第 i 件物品（它的體積是2，重量是m[ i ]）
-
輸出：
輸出的答案去要取 f[ n ][0 ~ v] 中的最大值，因爲不一定最大質量就是剩有最小體積。
ps：雖然這三種代碼實現都差不多，但是想要真正理解01揹包問題的話就還是得把他們區分開來，這要也是考驗自己是否真正理解吧