题目如下：
有 N 件物品和一个容量是 V 的揹包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入揹包，可使这些物品的总体积不超过揹包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和揹包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8
需要输入：
- 物品数量 n，最大容量v
- （n行）每个物品的体积、质量
申请空间：
- int n, v
- int vx[] 各个物品的体积
- int m[] 各个物品的质量
- int f[][] 各个状态下的最大质量
首先列出这三种情况：
- f[ i ] [ j ] 表示为前 i 个物品，在体积不超过 j 的前提下的最大质量
- f[ i ][ j ] 表示为前 i 个物品，在体积恰好等于 j 的前提下的最大质量
- f[ i ][ j ] 表示为前 i 个物品，在体积剩余 j 的前提下的最大质量
不超过j
关键性代码
for(int i = 1; i <= n; i++ ){//前i个
for(int j = 0; j <= v; j++ ){
f[i][j] = f[i - 1][j];//不选第i个物品
if(j >= vx[i])//此时存在一个体积不超过 j-vx[i] ，如果在加上v[i]则才是，体积不超过j
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - vx[i]] + m[i]);//为啥是j-vx[i]，是因为当选择了第i个商品，
//此时的f[i][j]为：选择前i件，体积不超过j的最大质量（而这个质量又由 f[i-1][j - vx[i] 的最大质量 + m[i]得到）
}
}
最重要的其实是这一块
if(j >= vx[i])
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - vx[i]] + m[i]);
- f[ i ][ j ] ：不选择第 i 个物品时的最大质量 （因为 if 之前已经赋值了）
- f[ i-1] [ j-vx[i] ] ：不选第 i 个物品时的最大质量，且此时体积不超过 j - vx[i]（这里要不超过是因为，加上 vx[ i ]后就满足不超过 j ）
- f[ i-1] [ j-vx[i] ] + w[ i ] 为选择第 i 个物品时，体积不超过 j 的最大质量
有人可能还不理解，举个例子：
f [3][5] = max(f[2][5], f[2][5-vx[3]] + m[3])
解释 f [2][ 5 - vx[3] ] + m[ 3 ] ：
- f [2][5 - vx[3]]：在前2件物品中选择，且体积不超过 5 - vx[3] 时的最大质量。
- f [2][ 5 - vx[3] ] + m[3] ：在前2件物品中选择，且体积不超过 5 - vx[3] 时的最大质量，此时再加上 第3件物品的质量（这样得到的就是，在前3件物品的选择下 （此时是选择了第三件物品） 体积不超过 5 的最大质量）
输出答案： f[ n ][ v ]（无须遍历求max）
恰好等于
在恰好等于这个情况中，它的式子跟不超过时的情况是一样的，唯一不同的有两点：
for(int i = 1; i <= n; i++ ){//前i个，此时从第2个开始
for(int j = 0; j <= v; j++ ){//此时的体积
f[i][j] = f[i - 1][j];//不选第i个物品
if(j >= vx[i] && (j == vx[i] || f[i][j-vx[i]] != 0))
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - vx[i]] + m[i]);//为啥是j-vx[i]，是因为当选择了第i个商品，
//需要当不选 i 的时候，体积有能容纳 i（才需要j>=vx[i]）
}
}
- 判断不同：
if(j >= vx[i] && (j == vx[i] || f[i][j-vx[i]] != 0))
解释：
j >= vx[ i ]： 防止后面的数组越界
f[ i ][ j - vx[ i ] ] != 0 ：如果等于零，证明能凑出这个体积的最大质量没有（如果不等于0，证明存在凑出体积为 j - vx[ i ] 的最大质量）
j == vx[ i ] ： 就是自己的体积正好是 j ，而凑出体积为0的最大质量就为0
-
输出不同：
输出的答案去要取 f[ n ][0 ~ v] 中的最大值，因为不一定最大质量就是占的最大体积。
剩余空间
关键代码
for(int i = 1; i <= n; i++ ){//前i个
for(int j = 0; j <= v; j++ ){//此时剩余体积为j
f[i][j] = f[i - 1][j];//不选第i个物品
if(j + vx[i] <= v)//防止越界
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j + vx[i]] + m[i]);//为啥是j+vx[i]，是因为当选择了第i个商品，
//此时的剩余体积肯定是减少的，考虑i的体积为2，比如求剩余体积为7的，那么一定是从剩余体积为9变化过来的
}
}
if(j + vx[i] <= v)//防止越界
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j + vx[i]] + m[i]);
解释：为啥是 j+vx[i]，是因为当选择了第 i 个商品，此时的剩余体积肯定是减少的，设考虑 i 的体积为 2，比如求剩余体积为7的，那么一定是从剩余体积为9变化过来的
f[ i ][ 7 ] = max(f[ i ][ 7 ]，f[ i -1][ 7 + 2] + m[ i ]
所以就是剩余空间为7 的时候的最大质量，是由剩余空间为 9 的最大质量加上 第 i 件物品（它的体积是2，重量是m[ i ]）
-
输出：
输出的答案去要取 f[ n ][0 ~ v] 中的最大值，因为不一定最大质量就是剩有最小体积。
ps：虽然这三种代码实现都差不多，但是想要真正理解01揹包问题的话就还是得把他们区分开来，这要也是考验自己是否真正理解吧