面試題62. 圓圈中最後剩下的數字

解題思路

約瑟夫環問題：N個人圍成一圈，第一個人從1開始報數，報M的將被殺掉，下一個人接着從1開始報。如此反覆，最後剩下一個，求最後的勝利者。
遞推公式：F(n, m) = (F(n-1, m) + m) % n。
F(n, m) 表示有n個人參與報數，每次將第m個人殺掉，最後勝利者的數組下標，其中n表示參與報數的總人數，m表示報到第m個人時將其殺掉。
推理步驟：
1、當n=1時，那麼他就是勝利者，數組下標爲0，其編號爲1；
2、每殺掉一個人，這個人的下一個重新由1開始報數，原本其編號爲m+1（數組下標爲m），重新開始報數後，編號就變成了1（數組下標爲0），相當於向前移動了m位。假設已知總人數爲n-1時，勝利者的數組下標爲F(n-1, m)，那麼總人數爲n時，其下標應向後移動m位，即 F(n, m) = F(n-1, m) + m，由於可能數組越界，所以還要模上當前人數n，所以 F(n, m) = [F(n-1, m) + m] % n。
（注：人員編號是從1開始的，而數組下標是從0開始的）

代碼

解法一：數學＋迭代

複雜度分析：
時間複雜度：O(n)，需要求解的函數值有 n 個。
空間複雜度：O(1)，只使用常數個變量。

class Solution:
    def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:
        res = 0
        for i in range(2, n+1):
            res = (res+m)%i
        return res

解法二：數學＋遞歸

複雜度分析：
時間複雜度：O(n)，需要求解的函數值有 n 個。
空間複雜度：O(n)，函數的遞歸深度爲 n，需要使用 O(n) 的棧空間。

# Python 默認的遞歸深度不夠，需要手動設置
sys.setrecursionlimit(100000)

def f(n, m):
    if n == 0:
        return 0
    x = f(n - 1, m)
    return (m + x) % n

class Solution:
    def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:
        return f(n, m)