面试题62. 圆圈中最后剩下的数字

解题思路

约瑟夫环问题：N个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报M的将被杀掉，下一个人接着从1开始报。如此反复，最后剩下一个，求最后的胜利者。
递推公式：F(n, m) = (F(n-1, m) + m) % n。
F(n, m) 表示有n个人参与报数，每次将第m个人杀掉，最后胜利者的数组下标，其中n表示参与报数的总人数，m表示报到第m个人时将其杀掉。
推理步骤：
1、当n=1时，那么他就是胜利者，数组下标为0，其编号为1；
2、每杀掉一个人，这个人的下一个重新由1开始报数，原本其编号为m+1（数组下标为m），重新开始报数后，编号就变成了1（数组下标为0），相当于向前移动了m位。假设已知总人数为n-1时，胜利者的数组下标为F(n-1, m)，那么总人数为n时，其下标应向后移动m位，即 F(n, m) = F(n-1, m) + m，由于可能数组越界，所以还要模上当前人数n，所以 F(n, m) = [F(n-1, m) + m] % n。
（注：人员编号是从1开始的，而数组下标是从0开始的）

代码

解法一：数学＋迭代

复杂度分析：
时间复杂度：O(n)，需要求解的函数值有 n 个。
空间复杂度：O(1)，只使用常数个变量。

class Solution:
    def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:
        res = 0
        for i in range(2, n+1):
            res = (res+m)%i
        return res

解法二：数学＋递归

复杂度分析：
时间复杂度：O(n)，需要求解的函数值有 n 个。
空间复杂度：O(n)，函数的递归深度为 n，需要使用 O(n) 的栈空间。

# Python 默认的递归深度不够，需要手动设置
sys.setrecursionlimit(100000)

def f(n, m):
    if n == 0:
        return 0
    x = f(n - 1, m)
    return (m + x) % n

class Solution:
    def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:
        return f(n, m)