鎖相環PLL原理分析

PLL，Phase Locked Loop，鎖相環，它的作用是得出正弦波的相位和角速度（區別於芯片硬件上的倍頻器）。

爲弄清PLL的原理，先來點先導知識：

旋轉矢量與三角函數的關係
在直角座標系αβ中有一個旋轉矢量（模值爲），在直角座標系中以速度ω(rad/s)繞中心點逆時針旋轉，其在兩座標軸的投影分別爲：

直角座標系

①α座標軸

②β座標軸

下面這個PLL環的作用就是求出旋轉矢量Ψ的速度ω和角度θ，推導如下：

上圖中比較點的輸出

其中，θ爲矢量的實際角度，爲矢量的估計角度，PLL的目的就是讓這兩個角度相等。

有這麼個規律最爲關鍵和有趣：

在角度θ（弧度制）很小的條件下，存在

sinθ ≈ θ

爲了直觀說明，我用Matlab畫了一個圖，如下所示：

在0.25弧度角度（約14.3°）以內，兩條曲線幾乎重合

我把m語言腳本也貼出來：

 i = 0:0.01:0.5;
 y = sin(i);
 plot(i,y,'r');
 hold on
 plot(i,i,'b');
 xlabel("弧度角度");
 legend("sinθ","θ（弧度）");

於是在直角座標系中，當角度差很小時就有

上面的PLL示意圖就可以驚奇地等效爲

根據框圖，得到開環傳遞函數

閉環傳遞函數爲

這是一個2型系統，對於斜坡輸入（假設角度隨時間線性增大），穩態誤差爲0。

爲了驗證上面推導的正確性，我在Simulink中搭建了一個PLL模型，如下圖所示：

Simulink仿真模型

在調試過程中發現，隨着驗證的矢量旋轉速度越快，PI參數中的KP/KI也要相應增大，不然上升時間太長，系統快速性指標會比較差。

仿真結果：

黃線爲sin函數，藍線爲角度

可以看出，模型完成了鎖相的目的，推導得到驗證。