【信號與系統】筆記（4-4）複頻域分析

Author：AXYZdong
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一、微分方程變換解

解：微分方程兩邊取拉氏變換，可得：
$(s^2+5s+6)Y(s)-sy(0_{-})-y'(0_{-})-5y(0_{-})=(2s+10)F(s)$
整理：
$Y(s)=\frac{s+6}{s^2+5s+6}+\frac{2s+10}{s^2+5s+6}\cdot F(s)$
故：$Y_X(s)=\frac{s+6}{s^2+5s+6}=\frac{4}{s+2}+\frac{-3}{s+3},Y_f(s)=\frac{2s+10} {s^2+5s+6}=\frac{-6}{s+2}+\frac{2}{s+3}+\frac{4}{s+1}$
零狀態響應：$y_f(t)=(2e^{-3t}+4e^{-t}-6e^{-2t})\epsilon(t)$
零輸入響應：$y_X(t)=( 4e^{-2t}-3e^{-3t})\epsilon(t)$
全響應：$y(t)=(-e^{-3t}+4e^{-t}-2e^{-2t})\epsilon(t)$

二、系統函數

系統函數定義爲：
$H(s)=\frac{Y_f(s)}{F(s)}=\frac{B(s)}{A(s)}$

它只與系統的結構、元件的參數有關，而與激勵、初始狀態無關。

$y_f(t)=h(t)*f(t) \longrightarrow Y_f(s)=\mathcal{L}[h(t)]F(s)$

三、系統的s域框圖

例：

解：設左邊加法器輸出爲：$X(s)$

則：$X(s)=F(s)-5s^{-1}X(s)-4s^{-2}X(s)$
$Y(s)=X(s)+4s^{-2}X(s)$
可得：$X(s)=\frac{s^2}{s^2+5s+4}F(s)$
$Y(s)=\frac{s^2+4}{s^2+5s+4}F(s),即：({s^2+5s+4})Y(s)=(s^2+4)F(s)$
（1）微分方程：$y''(t)+5y'(t)+4y(t)=f''(t)+4f(t)$
（2）系統函數：$H(s)=\frac{s^2+4}{s^2+5s+4}$
（3）$H(s)=\frac{s^2+4}{s^2+5s+4}=1+\frac{5}{3(s+1)}-\frac{20}{3(s+4)}$
$h(t)=\mathcal{L^{-1}}[H(s)]=\delta(t)+(\frac{5}{3}e^{-t}-\frac{20}{3}e^{-4t})\epsilon(t)$

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