【信號與系統】筆記（5-1）z 變換

Author：AXYZdong
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前言

離散系統 z 域分析相關內容

一、從拉氏變換到z變換

對連續信號進行均勻衝激取樣後，就得到離散信號：

$f_s(t)=f(t)\delta_T(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(kT)\delta(t-kT)$

兩邊取雙邊拉氏變換得：

$F_{sb}(s)=\sum^{\infty}_{k=-\infty}f(kT)e^{-kTs}$

令：$z=e^{sT}$，上式成爲復變量z的函數

$F(z)=\sum^{\infty}_{k=-\infty}f(k)e^{-k} \tag 1$
$F(z)=\sum^{\infty}_{k=0}f(k)e^{-k} \tag 2$

（1）式成爲序列 $f(k)$ 的雙邊z變換
（2）式成爲序列 $f(k)$ 的單邊邊z變換

注：若 $f(k)$ 爲因果序列，則單邊、雙邊z變換相等。

二、收斂域

z變換定義爲一無窮冪級數之和，顯然只有當該冪級數收斂，即：

$\sum_{k=-\infty}^{\infty}|f(k)z^{-k}|<\infty$

時，z變換才存在。

1、收斂域定義

對於序列 $f(k)$ 滿足 $\sum_{k=-\infty}^{\infty}|f(k)z^{-k}|<\infty$
所有z值組成的集合稱爲z變換 $F(z)$ 的收斂域。

2、例題

3、序列收斂域的幾種情況

（1）有限長序列，其雙邊z變換在整個平面；

（2）因果序列，其z變換的收斂域爲某個圓外區域；

（3）反因果序列，其z變換的收斂域爲某個圓內區域；

（4）雙邊序列，其z變換的收斂域爲環狀區域；

三、常用序列z變換

1、$\delta(k) \longleftrightarrow 1,|z|>0$
2、$\epsilon(k) \longleftrightarrow \frac{z}{z-1},|z|>1$
3、$-\epsilon(-k-1) \longleftrightarrow \frac{z}{z-1},|z|<1$
4、$a^k\epsilon(k) \longleftrightarrow \frac{z}{z-a},|z|>a$
5、$k\epsilon(k) \longleftrightarrow \frac{z}{(z-1)^2},|z|>1$

總結

Z變換（英文：z-transformation）可將時域信號（即：離散時間序列）變換爲在複頻域的表達式。它在離散時間信號處理中的地位，如同拉普拉斯變換在連續時間信號處理中的地位。離散時間信號的Z變換是分析線性時不變離散時間系統問題的重要工具，在數字信號處理、計算機控制系統等領域有着廣泛的應用。

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